Для решения задачи сначала определим фокусы гиперболы и асимптоты, а затем найдем координаты третьей вершины треугольника и вычислим его площадь.

Шаг 1: Найдем фокусы гиперболы.

Гипербола задана уравнением:

9x² - y² = 144.

Приведем это уравнение к стандартному виду гиперболы:

x²/16 - y²/144 = 1.

Теперь мы видим, что a² = 16 и b² = 144. Значит, a = 4 и b = 12.

Фокусы гиперболы находятся на расстоянии c от центра, где c = √(a² + b²):

c = √(16 + 144) = √160 = 4√10.

Центр гиперболы находится в точке (0, 0), следовательно, фокусы находятся в точках:

• (4√10, 0) и (-4√10, 0).

Шаг 2: Найдем асимптоты гиперболы.

Асимптоты гиперболы имеют уравнения:

• y = (b/a)x и y = -(b/a)x.

Подставим значения a и b:

• y = (12/4)x = 3x;
• y = -(12/4)x = -3x.

Таким образом, уравнения асимптот: y = 3x и y = -3x.

Шаг 3: Найдем третью вершину треугольника.

Точка пересечения асимптот находится в начале координат (0, 0). Нам нужно найти точку на одной из асимптот, которая находится на расстоянии 10 единиц от этой точки.

Рассмотрим асимптоту y = 3x. Найдем координаты точки (x, y) на этой прямой, которая находится на расстоянии 10 от начала координат:

Сначала выразим y через x:

y = 3x.

Теперь используем формулу расстояния:

√(x² + y²) = 10.

Подставим y:

√(x² + (3x)²) = 10.

Это уравнение можно упростить:

√(x² + 9x²) = 10,

√(10x²) = 10.

Квадрат обеих сторон:

10x² = 100.

x² = 10.

x = ±√10.

Теперь найдем соответствующие значения y:

• Для x = √10: y = 3√10;
• Для x = -√10: y = -3√10.

Таким образом, у нас есть две возможные точки для третьей вершины треугольника: (√10, 3√10) и (-√10, -3√10).

Шаг 4: Вычислим площадь треугольника.

Используем формулу для вычисления площади треугольника по координатам его вершин (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3):

Площадь = 1/2 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|.

Подставим координаты вершин:

• Фокус 1: (4√10, 0),
• Фокус 2: (-4√10, 0),
• Вершина: (√10, 3√10).

Теперь подставляем в формулу:

Площадь = 1/2 * |(4√10)(0 - 3√10) + (-4√10)(3√10 - 0) + (√10)(0 - 0)|.

Площадь = 1/2 * |(4√10)(-3√10) + (-4√10)(3√10)|.

Площадь = 1/2 * | -12 * 10 - 12 * 10 | = 1/2 * | -240 | = 120.

Ответ: Площадь треугольника равна 120 квадратных единиц.