Чтобы доказать, что разность 97 в степени 2025 минус 5 в степени 2025 делится на 91, мы можем воспользоваться свойствами чисел и теорией чисел. Начнем с разложения на множители.

Во-первых, заметим, что 91 можно разложить на простые множители:

• 91 = 7 * 13

Следовательно, нам нужно показать, что:

• 97^2025 - 5^2025 делится на 7
• 97^2025 - 5^2025 делится на 13

Теперь будем рассматривать каждое из этих делений по отдельности.

Нам нужно вычислить 97 и 5 по модулю 7:

• 97 ≡ 6 (mod 7)
• 5 ≡ 5 (mod 7)

Теперь подставим эти значения в выражение:

• 97^2025 ≡ 6^2025 (mod 7)
• 5^2025 ≡ 5^2025 (mod 7)

Теперь нам нужно выяснить, как ведут себя 6^2025 и 5^2025 по модулю 7. Для этого воспользуемся малой теоремой Ферма, которая говорит, что если p — простое число, то для любого целого a, не делящегося на p, выполняется a^(p-1) ≡ 1 (mod p).

В нашем случае p = 7, и 6 и 5 не делятся на 7. Поэтому:

• 6^6 ≡ 1 (mod 7)
• 5^6 ≡ 1 (mod 7)

Теперь найдем 2025 по модулю 6:

• 2025 = 6 * 337 + 3, следовательно, 2025 ≡ 3 (mod 6)

Теперь подставим это значение:

• 6^2025 ≡ 6^3 (mod 7)
• 5^2025 ≡ 5^3 (mod 7)

Вычислим 6^3 и 5^3:

• 6^3 = 216 ≡ 6 (mod 7)
• 5^3 = 125 ≡ 6 (mod 7)

Теперь подставим результаты:

• 97^2025 - 5^2025 ≡ 6 - 6 ≡ 0 (mod 7)

Таким образом, выражение делится на 7.

Теперь проверим делимость на 13:

• 97 ≡ 5 (mod 13)
• 5 ≡ 5 (mod 13)

Подставим эти значения:

• 97^2025 ≡ 5^2025 (mod 13)
• 5^2025 ≡ 5^2025 (mod 13)

Таким образом, мы имеем:

• 97^2025 - 5^2025 ≡ 5^2025 - 5^2025 ≡ 0 (mod 13)

Это значит, что выражение делится на 13.

Теперь, так как мы доказали, что разность 97^2025 - 5^2025 делится и на 7, и на 13, мы можем заключить, что она делится на 91:

• 97^2025 - 5^2025 делится на 91.

Таким образом, мы завершили доказательство.