Решим каждое неравенство по отдельности.

Сначала определим, когда синус принимает значение -½. Мы знаем, что:

• sin(θ) = -½ при θ = 7π/6 + 2kπ и θ = 11π/6 + 2kπ, где k - любое целое число.

Теперь, поскольку у нас есть sin(4x), мы можем записать:

• 4x = 7π/6 + 2kπ
• 4x = 11π/6 + 2kπ

Теперь разделим каждое из уравнений на 4:

• x = (7π/6 + 2kπ) / 4 = 7π/24 + kπ/2
• x = (11π/6 + 2kπ) / 4 = 11π/24 + kπ/2

Теперь определим промежутки, где sin(4x) ≤ -½. Синус - это периодическая функция, и мы можем использовать промежутки между найденными значениями:

• 4x ∈ [7π/6 + 2kπ; 11π/6 + 2kπ]

Теперь решим неравенство:

• 7π/6 + 2kπ ≤ 4x ≤ 11π/6 + 2kπ

Разделим на 4:

• (7π/24 + kπ/2) ≤ x ≤ (11π/24 + kπ/2)

Таким образом, решение неравенства sin(4x) ≤ -½ будет:

• x ∈ [7π/24 + kπ/2; 11π/24 + kπ/2], где k - любое целое число.

Теперь найдем, когда косинус принимает значение -√2/2. Мы знаем, что:

• cos(θ) = -√2/2 при θ = 3π/4 + 2kπ и θ = 5π/4 + 2kπ, где k - любое целое число.

Теперь, поскольку у нас есть cos(x/9), мы можем записать:

• x/9 = 3π/4 + 2kπ
• x/9 = 5π/4 + 2kπ

Умножим каждое уравнение на 9:

• x = 27π/4 + 18kπ
• x = 45π/4 + 18kπ

Теперь определим промежутки, где cos(x/9) ≤ -√2/2. Косинус - это периодическая функция, и мы можем использовать промежутки между найденными значениями:

• x ∈ [27π/4 + 18kπ; 45π/4 + 18kπ]

Таким образом, решение неравенства cos(x/9) ≤ -√2/2 будет:

• x ∈ [27π/4 + 18kπ; 45π/4 + 18kπ], где k - любое целое число.

В итоге, у нас есть два решения:

• Для sin(4x) ≤ -½: x ∈ [7π/24 + kπ/2; 11π/24 + kπ/2], где k - любое целое число.
• Для cos(x/9) ≤ -√2/2: x ∈ [27π/4 + 18kπ; 45π/4 + 18kπ], где k - любое целое число.