Похожие вопросы
2025-11-01 16:21:13
Решите неравенство: 0,5 в степени 2х-3 минус 17 умножить на 0,5 в степени х плюс 2 меньше или равно 0.
Математика 11 класс Неравенства с показательной функцией неравенство решение неравенства 0,5 в степени математические задачи алгебра 11 класс подготовка к экзаменам учебные материалы Новый
2025-11-01 16:21:38
Для решения неравенства 0,5^(2х-3) - 17 * 0,5^(х+2) ≤ 0, начнем с упрощения выражения.
Обозначим y = 0,5^x. Тогда 0,5^(2x) можно записать как (0,5^x)^2 = y^2. Подставим это в неравенство:
0,5^(2х-3) = 0,5^2 * 0,5^(2х-2) = 0,25 * y^2, а 0,5^(х+2) = 0,5^2 * 0,5^x = 0,25 * y.
Теперь наше неравенство принимает вид:
0,25 * y^2 - 17 * 0,25 * y ≤ 0.
Упростим его, разделив обе стороны на 0,25 (поскольку 0,25 > 0, знак неравенства не изменится):
y^2 - 17y ≤ 0.
Теперь вынесем y за скобки:
y(y - 17) ≤ 0.
Это неравенство верно, если y = 0 или y - 17 = 0, то есть y = 0 или y = 17. Теперь определим, при каких значениях y неравенство выполняется.
Рассмотрим промежутки:
- y < 0: не подходит, так как y = 0,5^x всегда положительно;
- 0 < y ≤ 17: подходит;
- y > 17: не подходит.
Теперь вернемся к переменной x. Напомним, что y = 0,5^x. Мы имеем:
0 < 0,5^x ≤ 17.
Так как 0,5^x всегда положительно, нам нужно решить только вторую часть:
0,5^x ≤ 17.
Теперь сделаем логарифмическое преобразование. Поскольку 0,5 < 1, неравенство изменится на противоположное при взятии логарифма:
x ≥ log(17) / log(0,5).
Теперь найдем значение логарифма:
log(0,5) = log(1/2) = -log(2), тогда:
x ≥ log(17) / -log(2).
Теперь вычислим численное значение:
log(17) примерно равен 1,2304, а log(2) примерно равен 0,3010, следовательно:
x ≥ 1,2304 / -0,3010 ≈ -4,09.
Таким образом, решение неравенства:
x ≥ -4,09.