Решим неравенство √(2х - х² + 1) ≥ 2х - 3. Начнем с того, что нам нужно определить область определения левой части неравенства, так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

1. Определим область определения:

• Для выражения 2х - х² + 1 ≥ 0, преобразуем его:
• Перепишем как -х² + 2х + 1 ≥ 0.
• Это квадратное уравнение, его можно привести к стандартному виду: х² - 2х - 1 ≤ 0.

2. Найдем корни уравнения х² - 2х - 1 = 0 с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = (-2)² - 4*1*(-1) = 4 + 4 = 8;
• Корни уравнения: х₁ = (2 + √8)/2 = 1 + √2 и х₂ = (2 - √8)/2 = 1 - √2.

3. Теперь определим промежутки, где квадратное неравенство выполняется:

• Парабола открыта вверх (коэффициент при х² положительный), значит, она принимает значения ≤ 0 между корнями:
• 1 - √2 ≤ х ≤ 1 + √2.

4. Теперь вернемся к исходному неравенству. Возведем обе части неравенства в квадрат (помним, что при этом нужно будет проверить, что обе части не отрицательны):

• √(2х - х² + 1)² ≥ (2х - 3)²;
• 2х - х² + 1 ≥ 4х² - 12х + 9.

5. Переносим все в одну сторону:

• 0 ≥ 4х² - 12х + 9 - 2х + х² - 1;
• 0 ≥ 5х² - 14х + 8.

6. Теперь решим квадратное неравенство 5х² - 14х + 8 ≤ 0:

• Находим дискриминант: D = (-14)² - 4*5*8 = 196 - 160 = 36;
• Корни: х₁ = (14 + √36)/2*5 = 2.8 и х₂ = (14 - √36)/2*5 = 0.8.

7. Промежутки, где неравенство выполняется: 0.8 ≤ х ≤ 2.8.

8. Теперь пересечем два полученных промежутка:

• Первый промежуток: 1 - √2 ≤ х ≤ 1 + √2 (примерно 0.585 ≤ х ≤ 2.414);
• Второй промежуток: 0.8 ≤ х ≤ 2.8.

9. Пересечение этих двух промежутков:

• Начало: max(1 - √2, 0.8) = 0.8;
• Конец: min(1 + √2, 2.8) = 2.414.

Таким образом, окончательный ответ: