Давайте решим каждую из задач по порядку.

Задача 1: Неравенство 17^x + 6*17^(-x) < 7

Для решения этого неравенства начнем с замены переменной. Обозначим:

• t = 17^x, тогда 17^(-x) = 1/t.

Таким образом, неравенство можно переписать в следующем виде:

t + 6/t < 7.

Умножим обе стороны на t (при условии, что t > 0, что верно, так как 17^x всегда положительно):

t^2 + 6 < 7t.

Переносим все в одну сторону:

t^2 - 7t + 6 < 0.

Теперь решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения t^2 - 7t + 6 = 0:

• Корни: t1 = 1 и t2 = 6 (по формуле корней квадратного уравнения).

Теперь определим промежутки, на которых неравенство выполняется:

• Непрерывная функция, значения которой на интервалах (−∞, 1), (1, 6) и (6, +∞).
• Функция принимает отрицательные значения на промежутке (1, 6).

Таким образом, неравенство выполняется, когда 1 < 17^x < 6. Переписываем это в виде:

• 17^x > 1 (x > 0),
• 17^x < 6 (x < log17(6)).

Следовательно, решение неравенства:

0 < x < log17(6).

Задача 2: Функция y = 4 + 21x - 2x^(3/2). Найдите наибольшее и наименьшее значение функции.

Для нахождения экстремумов функции найдем производную:

y' = 21 - 3x^(1/2).

Приравняем производную к нулю:

21 - 3x^(1/2) = 0.

Отсюда находим x:

x^(1/2) = 7, x = 49.

Теперь нужно проверить, является ли это точкой максимума или минимума. Для этого найдем вторую производную:

y'' = -3/(2x^(1/2)).

При x = 49, y'' < 0, значит это точка максимума.

Теперь найдем значение функции в этой точке:

y(49) = 4 + 21*49 - 2*(49)^(3/2).

Также, чтобы найти наименьшее значение, нужно проверить границы области определения функции. Если x >= 0, то подставим x = 0:

y(0) = 4.

Таким образом, наибольшее значение функции: y(49), а наименьшее значение: y(0) = 4.

Задача 3: Уравнение 4sin^2(x) + √3(1 - 2sin(x)) = 2sin(x).

Сначала упростим уравнение:

4sin^2(x) + √3 - 2√3sin(x) - 2sin(x) = 0.

Соберем все в одну сторону:

4sin^2(x) - (2 + 2√3)sin(x) + √3 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение относительно sin(x) с помощью формулы корней:

• a = 4, b = -(2 + 2√3), c = √3.

Корни будут:

sin(x) = [-(b) ± √(b^2 - 4ac)] / 2a.

Теперь найдем корни на отрезке от П/4 до 3П/4. Необходимо проверить, попадают ли корни в этот интервал.

Таким образом, мы нашли решения для всех трех задач. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!