Похожие вопросы
2025-11-07 04:58:22
Решите уравнение:
3*9^x - 10*3^x + 3 = 8
Математика 11 класс Уравнения с переменной в показателе уравнение математика 11 класс 3*9^x 10*3^x решение алгебра exponentiation математические задачи Новый
2025-11-07 04:58:42
Давайте решим уравнение: 3*9^x - 10*3^x + 3 = 8.
Первым шагом заметим, что 9 можно представить как 3^2. Таким образом, мы можем переписать 9^x как (3^2)^x, что равняется 3^(2x). Подставим это в уравнение:
3 * 3^(2x) - 10 * 3^x + 3 = 8.
Теперь упростим уравнение:
3^(1 + 2x) - 10 * 3^x + 3 = 8.
Теперь перенесем 8 на левую сторону:
3 * 3^(2x) - 10 * 3^x + 3 - 8 = 0.
Упростим это:
3 * 3^(2x) - 10 * 3^x - 5 = 0.
Теперь сделаем замену переменной. Пусть y = 3^x. Тогда 3^(2x) = y^2. Подставим это в уравнение:
3y^2 - 10y - 5 = 0.
Теперь у нас квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью формулы для корней квадратного уравнения:
y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a,
где a = 3, b = -10, c = -5.
Сначала найдем дискриминант:
D = (-10)^2 - 4 * 3 * (-5) = 100 + 60 = 160.
Теперь подставим значения в формулу:
y = (10 ± √160) / 6.
Теперь упростим √160:
√160 = √(16 * 10) = 4√10.
Таким образом, корни уравнения будут:
- y1 = (10 + 4√10) / 6,
- y2 = (10 - 4√10) / 6.
Теперь найдем значения y:
y1 = (10 + 4√10) / 6 и y2 = (10 - 4√10) / 6.
Поскольку y = 3^x, мы можем найти x, взяв логарифм:
x1 = log3(y1) = log3((10 + 4√10) / 6),
x2 = log3(y2) = log3((10 - 4√10) / 6).
Обратите внимание, что y2 может быть отрицательным, так как 10 - 4√10 < 0 (примерно 10 - 12.65 < 0). Поэтому x2 не будет иметь действительного решения, так как 3^x всегда положительно.
Таким образом, у нас остается только одно действительное решение:
x = log3((10 + 4√10) / 6).
Это и есть ответ на наше уравнение.