Похожие вопросы
2025-10-29 10:12:04
Решите уравнение: f'(x) = g'(x), если f(x) = косинус в квадрате x, а g(x) = синус x минус синус π/10.
Математика 11 класс Производные и уравнения с производными уравнение производная косинус синус математика 11 класс решение уравнения f'(x) g'(x) тригонометрические функции Новый
2025-10-29 10:12:22
Давайте решим уравнение f'(x) = g'(x), где f(x) = cos^2(x) и g(x) = sin(x) - sin(π/10).
Первым шагом будет нахождение производной функции f(x).
- Используем правило дифференцирования для сложной функции и правило производной косинуса.
- f'(x) = 2 * cos(x) * (-sin(x)) = -2 * cos(x) * sin(x).
Теперь найдем производную функции g(x).
- g'(x) = cos(x), так как производная синуса равна косинусу, а производная константы (sin(π/10)) равна 0.
Теперь у нас есть:
- f'(x) = -2 * cos(x) * sin(x)
- g'(x) = cos(x)
Теперь приравняем производные:
-2 * cos(x) * sin(x) = cos(x).
Для решения этого уравнения, мы можем разделить обе стороны на cos(x), но необходимо помнить, что cos(x) не может равняться 0. Поэтому мы сначала рассмотрим случай, когда cos(x) = 0.
- cos(x) = 0, когда x = π/2 + kπ, где k - любое целое число.
Теперь рассмотрим случай, когда cos(x) не равен 0. Мы можем разделить обе стороны на cos(x):
-2 * sin(x) = 1.
Теперь выразим sin(x):
sin(x) = -1/2.
Решим это уравнение:
- sin(x) = -1/2, когда x = 7π/6 + 2kπ и x = 11π/6 + 2kπ, где k - любое целое число.
Таким образом, все решения уравнения f'(x) = g'(x) будут:
- x = π/2 + kπ, где k - любое целое число (когда cos(x) = 0),
- x = 7π/6 + 2kπ и x = 11π/6 + 2kπ, где k - любое целое число (когда sin(x) = -1/2).
Это и есть все решения уравнения!