Для построения последовательности, которая имеет в качестве предельных точек все точки из интервала [0, 1], мы можем использовать следующую последовательность:

• Определим последовательность a_n следующим образом:

a_n = (1/n) * (m + (n - m) * r),

где:

• n - номер члена последовательности;
• m - целое число, принимающее значения от 0 до 1;
• r - случайное число из интервала [0, 1].

Таким образом, мы будем генерировать последовательность, которая будет включать в себя все возможные значения в пределах [0, 1].

Теперь давайте рассмотрим, как эта последовательность будет вести себя и почему все точки из интервала [0, 1] являются предельными точками.

1. Определение предельной точки: Точка x является предельной точкой последовательности a_n, если для любого ε > 0 существует бесконечно много n, таких что |a_n - x| < ε.
2. Покажем, что каждая точка x из [0, 1] является предельной:
• Пусть x - произвольная точка из интервала [0, 1].
• Выберем ε > 0, например, ε = 0.01.
• Поскольку r - случайное число, мы можем выбрать r таким образом, чтобы оно приближалось к x. Например, если x = 0.5, мы можем выбрать r = 0.5 + δ, где δ - малое положительное число, которое мы можем сделать достаточно маленьким.
• Таким образом, для достаточно больших n, (1/n) * (m + (n - m) * r) будет приближаться к x.
• Следовательно, для любого ε существует бесконечно много n, таких что |a_n - x| < ε.
• Это доказывает, что x является предельной точкой.
3. Таким образом, так как x было выбрано произвольно, мы можем утверждать, что все точки из интервала [0, 1] являются предельными точками последовательности a_n.

В итоге, мы построили последовательность, которая имеет в качестве предельных точек все точки из интервала [0, 1], и доказали это с помощью определения предельной точки и выбора произвольной точки x из интервала. Если у вас есть вопросы, не стесняйтесь спрашивать!