У нас есть комплексные числа:

1. z=3i
2. z=(3+2i)^2

Как найти Re z, Im z, модуль z и arg z?

Математика 11 класс Комплексные числа комплексные числа Re z Im z модуль z arg z математика 11 класс

Давай разберемся с комплексными числами и найдем все необходимые характеристики для каждого из них! Это увлекательно и очень интересно!

Первое комплексное число: z = 3i

• Re z: Это действительная часть, которая равна 0, потому что у нас нет действительной части.
• Im z: Это мнимая часть, и она равна 3.
• Модуль z: Модуль вычисляется по формуле √(Re z² + Im z²). В нашем случае это √(0² + 3²) = √9 = 3.
• arg z: Аргумент (угол) вычисляется с помощью арктангенса. Здесь arg z = π/2, так как 3i лежит на положительной мнимой оси.

Второе комплексное число: z = (3 + 2i)²

Сначала найдем z:

• Раскроем скобки: (3 + 2i)(3 + 2i) = 9 + 6i + 6i + 4i² = 9 + 12i - 4 = 5 + 12i.

Теперь найдем характеристики для z = 5 + 12i:

• Re z: Это действительная часть, равная 5.
• Im z: Это мнимая часть, равная 12.
• Модуль z: Модуль вычисляется как √(Re z² + Im z²). В нашем случае это √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13.
• arg z: Для нахождения аргумента используем арктангенс: arg z = arctan(12/5). Это примерно 1.176, или 67.38 градусов!

Вот и всё! Мы нашли Re, Im, модуль и аргумент для обоих комплексных чисел! Это было весело, правда? Удачи в учебе!

Давайте разберем каждое из комплексных чисел по отдельности и найдем для них действительную часть (Re z), мнимую часть (Im z), модуль (|z|) и аргумент (arg z).

1. Для первого комплексного числа z = 3i:

• Re z: Действительная часть равна 0, так как 3i не имеет действительной части.
• Im z: Мнимая часть равна 3, так как 3i состоит только из мнимой части.
• Модуль z: Модуль вычисляется по формуле |z| = √(Re z² + Im z²). В нашем случае это будет √(0² + 3²) = √9 = 3.
• Аргумент z: Аргумент определяется как угол, который вектор, представляющий комплексное число, образует с положительной осью действительных чисел. В данном случае arg(3i) = π/2, так как вектор направлен вверх по оси Imaginary.

Итак, для z = 3i:

• Re z = 0
• Im z = 3
• |z| = 3
• arg z = π/2

2. Для второго комплексного числа z = (3 + 2i)²:

Сначала найдем (3 + 2i)²:

• Раскроем скобки: (3 + 2i)(3 + 2i) = 3*3 + 3*2i + 2i*3 + 2i*2i.
• Это будет 9 + 6i + 6i + 4i².
• Так как i² = -1, заменим 4i² на -4: 9 + 12i - 4 = 5 + 12i.

Теперь у нас есть z = 5 + 12i.

• Re z: Действительная часть равна 5.
• Im z: Мнимая часть равна 12.
• Модуль z: |z| = √(Re z² + Im z²) = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13.
• Аргумент z: arg z = arctan(Im z / Re z) = arctan(12/5). Это значение можно найти с помощью калькулятора, оно приблизительно равно 1.176.

Итак, для z = (3 + 2i)²:

• Re z = 5
• Im z = 12
• |z| = 13
• arg z ≈ 1.176

Теперь у нас есть все необходимые значения для обоих комплексных чисел!