В декартовой прямоугольной системе координат заданы вершины пирамиды. Как найти:

1. длину ребра;
2. косинус угла между векторами;
3. уравнение ребра;
4. уравнение грани С1; если А1 (-2,2,2), В1(1,-3,0), С1(6,2,4), D1(5,7,-1).

Математика 11 класс Геометрия в пространстве декартова система координат вершины пирамиды длина ребра косинус угла уравнение ребра уравнение грани координаты точек векторы в пространстве математические задачи 11 класс математика Новый

Для решения данной задачи нам нужно выполнить несколько шагов. Рассмотрим каждую из задач по очереди.

1. Найти длину ребра:

Сначала определим, какое ребро мы хотим найти. Например, возьмем ребро AB, соединяющее точки A1 и B1.

Длина ребра AB может быть найдена с помощью формулы расстояния между двумя точками в пространстве:

длина = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)

Подставим координаты точек A1 и B1:

• x1 = -2, y1 = 2, z1 = 2
• x2 = 1, y2 = -3, z2 = 0

Теперь подставим значения в формулу:

длина = √((1 - (-2))² + ((-3) - 2)² + (0 - 2)²)

длина = √((1 + 2)² + (-5)² + (-2)²)

длина = √(3² + 25 + 4) = √(9 + 25 + 4) = √38.

2. Найти косинус угла между векторами:

Для нахождения косинуса угла между векторами, нам нужно сначала определить векторы. Например, возьмем векторы AB и AC:

Вектор AB = B1 - A1 = (1 - (-2), -3 - 2, 0 - 2) = (3, -5, -2).

Вектор AC = C1 - A1 = (6 - (-2), 2 - 2, 4 - 2) = (8, 0, 2).

Теперь найдем скалярное произведение векторов AB и AC:

AB · AC = (3 * 8) + (-5 * 0) + (-2 * 2) = 24 + 0 - 4 = 20.

Теперь найдем длины векторов AB и AC:

длина AB = √(3² + (-5)² + (-2)²) = √(9 + 25 + 4) = √38.

длина AC = √(8² + 0² + 2²) = √(64 + 0 + 4) = √68.

Теперь можем найти косинус угла между векторами:

cos(θ) = (AB · AC) / (длина AB * длина AC) = 20 / (√38 * √68).

3. Найти уравнение ребра:

Уравнение ребра, соединяющего точки A1 и B1, можно записать в параметрической форме:

r(t) = A1 + t(B1 - A1), где t - параметр.

Подставим координаты:

r(t) = (-2, 2, 2) + t((1 - (-2), -3 - 2, 0 - 2)) = (-2, 2, 2) + t(3, -5, -2).

Таким образом, уравнение ребра AB будет:

r(t) = (-2 + 3t, 2 - 5t, 2 - 2t), где t ∈ R.

4. Найти уравнение грани C1:

Грань C1 - это плоскость, содержащая точку C1 и два других вектора, например, AC и AD. Сначала найдем вектор AD:

Вектор AD = D1 - A1 = (5 - (-2), 7 - 2, -1 - 2) = (7, 5, -3).

Теперь, чтобы найти уравнение плоскости, нам нужно использовать векторы AC и AD. Плоскость определяется нормальным вектором, который можно найти с помощью векторного произведения:

n = AC × AD.

Вычислим векторное произведение:

n = |i j k|

|8 0 2|

|7 5 -3|

Теперь найдем определитель:

n = i(0 * (-3) - 2 * 5) - j(8 * (-3) - 2 * 7) + k(8 * 5 - 0 * 7).

Это даст нам нормальный вектор, который мы можем использовать для уравнения плоскости:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0, где (x0, y0, z0) - координаты точки C1.

Таким образом, уравнение грани C1 будет иметь вид:

A(x - 6) + B(y - 2) + C(z - 4) = 0.

Это общий подход к решению задачи. Если у вас есть конкретные вопросы по каждому из шагов, не стесняйтесь спрашивать!