В геометрической прогрессии сумма первых четырех членов составляет 60, а сумма первого и третьего членов равна 20. Какой знаменатель у этой прогрессии?

Математика 11 класс Геометрические прогрессии Геометрическая прогрессия сумма членов знаменатель прогрессии задача по математике решение уравнения Новый

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как a, а знаменатель прогрессии как q. Тогда первые четыре члена прогрессии можно записать так:

• Первый член: a
• Второй член: aq
• Третий член: aq²
• Четвертый член: aq³

Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна:

S4 = a + aq + aq² + aq³ = 60

Мы можем вынести a за скобки:

S4 = a(1 + q + q² + q³) = 60

Теперь у нас есть первое уравнение:

1. a(1 + q + q² + q³) = 60

Теперь рассмотрим сумму первого и третьего членов:

S1 + S3 = a + aq² = 20

Также можем вынести a за скобки:

a(1 + q²) = 20

Это будет нашим вторым уравнением:

2. a(1 + q²) = 20

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Мы можем выразить a из второго уравнения:

a = 20 / (1 + q²)

Теперь подставим это значение a в первое уравнение:

(20 / (1 + q²))(1 + q + q² + q³) = 60

Умножим обе стороны уравнения на (1 + q²):

20(1 + q + q² + q³) = 60(1 + q²)

Теперь упростим это уравнение:

20 + 20q + 20q² + 20q³ = 60 + 60q²

Переносим все в одну сторону:

20q³ + 20q - 40q² - 40 = 0

Упрощаем:

20q³ - 40q² + 20q - 40 = 0

Делим все на 20:

q³ - 2q² + q - 2 = 0

Теперь можем попробовать найти корни этого уравнения. Используем метод подбора:

Проверим q = 2:

2³ - 2*2² + 2 - 2 = 8 - 8 + 2 - 2 = 0

q = 2 является корнем. Теперь можем разложить многочлен:

Используем деление многочлена:

q³ - 2q² + q - 2 = (q - 2)(q² + 0q + 1)

Теперь у нас есть:

(q - 2)(q² + 1) = 0

Решение уравнения:

1. q - 2 = 0, значит q = 2.

2. q² + 1 = 0, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, единственный действительный корень - это q = 2.

Ответ: Знаменатель геометрической прогрессии равен 2.