Для решения данной задачи, давайте сначала определим размеры куба и расположение точек А, В и С.

Площадь боковой поверхности куба равна 96 см². Поскольку боковая поверхность куба состоит из 4 квадратов, то:

• Площадь одного квадрата = 96 см² / 4 = 24 см².
• Сторона квадрата (ребро куба) = √24 см = 2√6 см.

Теперь обозначим ребра куба:

• ММ1 = МР = МТ = 2√6 см.

Теперь определим точки А, В и С на ребрах куба:

• Точка А делит ребро ММ1 в отношении 2:1, то есть:
• MA = 2/3 * (2√6) = (4/3)√6 см.
• AM1 = 1/3 * (2√6) = (2/3)√6 см.
• Точка В делит ребро МР также в отношении 2:1, то есть:
• MB = 2/3 * (2√6) = (4/3)√6 см.
• BP = 1/3 * (2√6) = (2/3)√6 см.
• Точка С делит ребро МТ в отношении 2:1, то есть:
• MC = 2/3 * (2√6) = (4/3)√6 см.
• CT = 1/3 * (2√6) = (2/3)√6 см.

Теперь у нас есть координаты точек А, В и С:

• А (0, (4/3)√6, 0)
• В (0, 0, (4/3)√6)
• С ((4/3)√6, 0, 0)

Теперь построим векторное уравнение плоскости АВС. Плоскость определяется вектором AB и AC:

• Вектор AB = B - A = (0, 0, (4/3)√6) - (0, (4/3)√6, 0) = (0, - (4/3)√6, (4/3)√6).
• Вектор AC = C - A = ((4/3)√6, 0, 0) - (0, (4/3)√6, 0) = ((4/3)√6, - (4/3)√6, 0).

Теперь найдем нормальный вектор к плоскости, используя векторное произведение:

• n = AB x AC.

После вычисления мы получим нормальный вектор, который поможет нам записать уравнение плоскости.

Теперь, чтобы найти радиус окружности, вписанной в сечение, нам нужно будет найти длины сторон треугольника ABC и его площадь. Используя формулу для радиуса вписанной окружности:

r = S / p, где S - площадь треугольника, p - полупериметр.

После нахождения всех необходимых величин, подставим их в формулу и найдем радиус окружности.

Таким образом, мы можем найти радиус окружности, вписанной в сечение плоскостью АВС, и завершить задачу.