Для нахождения четвертой вершины D параллелограмма ABCD, нам нужно использовать свойства параллелограмма. В параллелограмме противоположные вершины являются средними точками диагоналей.

Мы знаем три вершины: A(-3;-2;-5), B(-4;-5;3) и C(2;3;4). Чтобы найти координаты точки D, воспользуемся следующим свойством: в параллелограмме средняя точка диагоналей совпадает. То есть, если M - это средняя точка отрезка AC, а N - это средняя точка отрезка BD, то M = N.

Шаги решения:

1. Сначала найдем координаты средней точки M отрезка AC.
• Координаты точки A: (-3, -2, -5)
• Координаты точки C: (2, 3, 4)
• Формула для нахождения средней точки: M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2, (z1 + z2)/2).
• Подставляем координаты: M = ((-3 + 2)/2, (-2 + 3)/2, (-5 + 4)/2) = (-0.5, 0.5, -0.5).
2. Теперь найдем координаты точки D. Мы знаем, что D и B также должны иметь такую же среднюю точку N.
• Координаты точки B: (-4, -5, 3)
• Пусть координаты точки D будут (x, y, z).
• По аналогичной формуле, N = ((-4 + x)/2, (-5 + y)/2, (3 + z)/2).
• Так как M = N, то мы можем записать систему уравнений:
• (-4 + x)/2 = -0.5
• (-5 + y)/2 = 0.5
• (3 + z)/2 = -0.5
• Решим каждое из уравнений:
• Первое уравнение: -4 + x = -1 => x = 3.
• Второе уравнение: -5 + y = 1 => y = 6.
• Третье уравнение: 3 + z = -1 => z = -4.
• Таким образом, координаты точки D: D(3, 6, -4).

Теперь у нас есть все четыре вершины параллелограмма: A(-3;-2;-5), B(-4;-5;3), C(2;3;4) и D(3;6;-4).

Теперь найдем острый угол параллелограмма. Для этого нам нужно найти векторы AB и AD:

1. Вектор AB = B - A = (-4 - (-3), -5 - (-2), 3 - (-5)) = (-1, -3, 8).
2. Вектор AD = D - A = (3 - (-3), 6 - (-2), -4 - (-5)) = (6, 8, 1).

Теперь найдем угол между векторами AB и AD с помощью скалярного произведения:

1. Скалярное произведение: AB · AD = (-1)*6 + (-3)*8 + 8*1 = -6 - 24 + 8 = -22.
2. Длину векторов:
• |AB| = sqrt((-1)^2 + (-3)^2 + 8^2) = sqrt(1 + 9 + 64) = sqrt(74).
• |AD| = sqrt(6^2 + 8^2 + 1^2) = sqrt(36 + 64 + 1) = sqrt(101).
3. Теперь используем формулу для нахождения косинуса угла θ:
• cos(θ) = (AB · AD) / (|AB| * |AD|).
4. Подставляем значения:
• cos(θ) = -22 / (sqrt(74) * sqrt(101)).

Теперь можно найти угол θ, используя арккосинус:

• θ = arccos(-22 / (sqrt(74) * sqrt(101))).

Таким образом, мы нашли четвертую вершину D и острый угол параллелограмма ABCD.