В шар вписан цилиндр, высота которого в два раза больше радиуса его основания. Если объем шара равен 4 корня из трех Пи, то каков объем цилиндра?

Математика 11 класс Геометрия объем шара объём цилиндра геометрия математика 11 класс задачи по математике цилиндр и шар высота цилиндра радиус основания объем фигур Новый

Для решения задачи начнем с анализа данных, которые у нас есть.

Объем шара задан как:

V_ш = 4 * корень из 3 * Пи

Для нахождения объема цилиндра, который вписан в шар, нам нужно знать его высоту и радиус основания. Из условия задачи мы знаем, что:

• Высота цилиндра (H) в два раза больше радиуса основания (R): H = 2R.

Теперь давайте найдем радиус шара (R_ш). Объем шара выражается формулой:

V_ш = (4/3) * Пи * R_ш^3

Приравняем объем шара к данному значению:

(4/3) * Пи * R_ш^3 = 4 * корень из 3 * Пи

Теперь можно сократить Пи с обеих сторон уравнения:

(4/3) * R_ш^3 = 4 * корень из 3

Умножим обе стороны на 3/4:

R_ш^3 = 3 * корень из 3

Теперь найдем радиус шара:

R_ш = (3 * корень из 3)^(1/3)

Но нам нужно найти объем цилиндра. Для этого найдем радиус основания цилиндра. Поскольку цилиндр вписан в шар, его высота и радиус основания связаны с радиусом шара следующим образом:

• Высота цилиндра (H) = 2R.
• Радиус основания цилиндра (R) = R_ш * (1/2) (по свойствам вписанного цилиндра в шар).

Таким образом, получаем:

R = R_ш / 2

Теперь можем выразить объем цилиндра:

V_ц = Пи * R^2 * H

Подставим H и R:

V_ц = Пи * (R_ш / 2)^2 * (2 * (R_ш / 2))

Упростим это выражение:

V_ц = Пи * (R_ш^2 / 4) * (R_ш) = (Пи / 4) * R_ш^3

Теперь подставим значение R_ш^3:

V_ц = (Пи / 4) * (3 * корень из 3)

В итоге, объем цилиндра:

V_ц = (3 * Пи * корень из 3) / 4

Таким образом, объем цилиндра, вписанного в шар, равен:

V_ц = (3 * Пи * корень из 3) / 4