Вопрос: Взяли одну игральную кость, у которой на гранях числа 1, 5, 2, 6, причём чётные числа встречаются дважды, и вторую, у которой на гранях встречаются только нечётные числа 1, 3, 5, каждое по два раза. В остальном эти игральные кости одинаковые. Случайным образом взяли одну кость из этой пары и бросили её дважды. Известно, что в каком-то порядке выпали числа 1 и 5. Найди вероятность того, что кидали первую игральную кость.

Математика 11 класс Вероятность и комбинаторика игральная кость вероятность математика 11 класс случайные события комбинаторика вероятностные расчеты четные и нечетные числа Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу условной вероятности. Давайте обозначим события:

• A — событие, что мы выбрали первую игральную кость.
• B — событие, что в результате бросков выпали числа 1 и 5.

Нам нужно найти вероятность P(A | B), то есть вероятность того, что мы выбрали первую кость, при условии, что выпали числа 1 и 5.

По формуле Байеса, мы можем выразить P(A | B) следующим образом:

P(A | B) = P(B | A) * P(A) / P(B)

Теперь найдем каждую из этих вероятностей по отдельности.

1. Находим P(A): Поскольку мы выбираем одну из двух костей случайным образом, вероятность выбора первой кости равна:

P(A) = 1/2

2. Находим P(B | A): Теперь найдем вероятность того, что при броске первой кости выпали 1 и 5. Первая кость имеет грани 1, 5, 2, 6, где 2 и 6 встречаются дважды. Таким образом, возможные комбинации при двух бросках, которые дают 1 и 5, следующие:
• (1, 5)
• (5, 1)

Теперь посчитаем общее количество возможных исходов при броске первой кости дважды. У первой кости 4 грани, и при двух бросках будет 4 * 4 = 16 возможных исходов. Из них только 2 исхода дают нам числа 1 и 5.

Таким образом, P(B | A) = 2/16 = 1/8.

3. Находим P(B): Теперь нам нужно найти общую вероятность P(B), т.е. вероятность того, что выпали числа 1 и 5, независимо от того, какую кость мы выбрали. Мы можем рассмотреть оба случая:
• Событие B при первой кости: Мы уже нашли, что P(B | A) = 1/8.
• Событие B при второй кости: Вторая кость имеет грани 1, 3, 5, и 1 и 5 могут выпасть в следующих комбинациях:
• (1, 5)
• (5, 1)

Общее количество возможных исходов для второй кости также равно 4 * 4 = 16. Таким образом, P(B | не A) = 2/16 = 1/8.

Теперь найдем P(B):

P(B) = P(B | A) * P(A) + P(B | не A) * P(не A) = (1/8) * (1/2) + (1/8) * (1/2) = 1/16 + 1/16 = 2/16 = 1/8.

Теперь подставим все значения в формулу Байеса:

P(A | B) = P(B | A) * P(A) / P(B) = (1/8) * (1/2) / (1/8) = (1/8) * (1/2) * (8/1) = 1/2.

Ответ: Вероятность того, что кидали первую игральную кость, равна 1/2.