Чтобы найти производную функции y в точке x0 = 1, начнем с того, что у нас есть функция:

y = arctg(x + 1) + (x + 1) / (x^2 + 2x + 2)

Для нахождения производной y, мы будем использовать правило суммы производных и правила дифференцирования для каждой части функции.

1. **Находим производную первой части: arctg(x + 1)**

• Производная функции arctg(u) равна 1 / (1 + u^2), где u = x + 1.
• Сначала находим производную u: du/dx = 1.
• Теперь применяем правило цепочки: dy1/dx = 1 / (1 + (x + 1)^2) * du/dx = 1 / (1 + (x + 1)^2).

2. **Находим производную второй части: (x + 1) / (x^2 + 2x + 2)**

• Мы будем использовать правило деления: если y = u/v, то dy/dx = (v * du/dx - u * dv/dx) / v^2.
• Где u = (x + 1) и v = (x^2 + 2x + 2).
• Сначала найдем производные u и v:
• du/dx = 1.
• dv/dx = 2x + 2.
• Теперь подставим в формулу: dy2/dx = ((x^2 + 2x + 2) * 1 - (x + 1) * (2x + 2)) / (x^2 + 2x + 2)^2.

Теперь объединим обе части:

dy/dx = dy1/dx + dy2/dx

Теперь подставим x = 1 в полученные производные:

1. Для первой части:

• dy1/dx = 1 / (1 + (1 + 1)^2) = 1 / (1 + 4) = 1 / 5.

2. Для второй части:

• Сначала найдем значение v при x = 1: v = (1^2 + 2*1 + 2) = 5.
• Теперь подставим в производную второй части: dy2/dx = (5 * 1 - (1 + 1) * (2*1 + 2)) / 5^2.
• dy2/dx = (5 - 2 * 4) / 25 = (5 - 8) / 25 = -3 / 25.

Теперь сложим обе производные:

dy/dx = 1/5 - 3/25.

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю:

• 1/5 = 5/25, тогда dy/dx = 5/25 - 3/25 = 2/25.

Таким образом, производная функции y в точке x0 = 1 равна:

dy/dx = 2/25.