Для вычисления неопределённого интеграла ∫(3x+1)eˣ dx мы будем использовать метод интегрирования по частям. Этот метод основан на формуле:

∫u dv = uv - ∫v du

Где:

• u - функция, которую мы выбираем для дифференцирования;
• dv - функция, которую мы выбираем для интегрирования;
• du - производная функции u;
• v - интеграл функции dv.

Теперь давайте выберем:

• u = 3x + 1 (это удобно, так как производная будет простой);
• dv = eˣ dx (это удобно, так как интеграл будет простым).

Теперь найдем du и v:

• du = 3 dx (производная от 3x + 1);
• v = eˣ (интеграл от eˣ).

Теперь подставим все в формулу интегрирования по частям:

∫(3x + 1)eˣ dx = (3x + 1)eˣ - ∫eˣ * 3 dx

Теперь вычислим второй интеграл:

∫eˣ * 3 dx = 3∫eˣ dx = 3eˣ + C, где C - произвольная константа интегрирования.

Теперь подставим это обратно в наше выражение:

∫(3x + 1)eˣ dx = (3x + 1)eˣ - (3eˣ) + C

Упрощая, получаем:

∫(3x + 1)eˣ dx = (3x + 1 - 3)eˣ + C

Или:

∫(3x + 1)eˣ dx = (3x - 2)eˣ + C

Таким образом, окончательный ответ:

∫(3x + 1)eˣ dx = (3x - 2)eˣ + C