Вычислите определённый интеграл

∫[1;-2] (x^2-2x+4)dx

Математика 11 класс Определённые интегралы определенный интеграл вычисление интеграла интеграл x^2-2x+4 математика интегралы интегрирование пределы интегрирования Новый

Для вычисления определённого интеграла ∫[1;-2] (x² - 2x + 4)dx, нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем неопределённый интеграл функции:

   Интегрируем функцию x² - 2x + 4. Для этого применим правила интегрирования:

   • ∫x² dx = (1/3)x³ + C
   • ∫(-2x) dx = -x² + C
   • ∫4 dx = 4x + C

   Теперь сложим все части:

   ∫(x² - 2x + 4)dx = (1/3)x³ - x² + 4x + C

2. Теперь определим границы интегрирования:

   Мы будем вычислять интеграл от 1 до -2. Но важно помнить, что при вычислении определённого интеграла мы можем поменять границы, если поменяем знак интеграла:

   ∫[1;-2] (x² - 2x + 4)dx = -∫[-2;1] (x² - 2x + 4)dx

3. Теперь подставим границы интегрирования в наш неопределённый интеграл:

   Вычислим интеграл от -2 до 1:

   ∫[-2;1] (x² - 2x + 4)dx = [(1/3)x³ - x² + 4x] от -2 до 1

4. Подставим верхнюю границу (x = 1):

   F(1) = (1/3)(1)³ - (1)² + 4(1) = (1/3) - 1 + 4 = (1/3) + 3 = (1/3) + (9/3) = 10/3

5. Теперь подставим нижнюю границу (x = -2):

   F(-2) = (1/3)(-2)³ - (-2)² + 4(-2) = (1/3)(-8) - 4 - 8 = -8/3 - 4 - 8 = -8/3 - 12/3 - 24/3 = -44/3

6. Теперь вычтем значения:

   ∫[-2;1] (x² - 2x + 4)dx = F(1) - F(-2) = (10/3) - (-44/3) = (10/3) + (44/3) = 54/3 = 18

7. Не забываем про знак:

   Теперь вернемся к нашему изменённому интегралу:

   ∫[1;-2] (x² - 2x + 4)dx = -∫[-2;1] (x² - 2x + 4)dx = -18

Таким образом, значение определённого интеграла ∫[1;-2] (x² - 2x + 4)dx равно -18.