Чтобы вычислить площадь области, ограниченной графиками функций y = x^2 и y = 3x, давайте сначала найдем точки пересечения этих двух функций. Это поможет нам понять, в каких пределах мы будем интегрировать.

Шаг 1: Найдем точки пересечения.

Для этого приравняем функции:

x^2 = 3x

Переносим все в одну сторону уравнения:

x^2 - 3x = 0

Теперь можем вынести x за скобки:

x(x - 3) = 0

Таким образом, у нас есть два корня:

• x = 0
• x = 3

Итак, точки пересечения находятся в x = 0 и x = 3.

Шаг 2: Построим графики функций.

График функции y = x^2 — это парабола, открытая вверх, а график функции y = 3x — это прямая, проходящая через начало координат с углом наклона 3. Мы можем нарисовать эти графики на одной координатной плоскости и увидеть, что они пересекаются в точках (0,0) и (3,9).

Шаг 3: Найдем площадь между графиками.

Площадь области между двумя функциями от x = 0 до x = 3 можно найти с помощью интегрирования:

S = ∫(y_верх - y_низ) dx

Где y_верх — это 3x (прямая), а y_низ — это x^2 (парабола).

Теперь запишем интеграл:

S = ∫(3x - x^2) dx от 0 до 3.

Шаг 4: Вычислим интеграл.

1. Находим первообразную:

∫(3x - x^2) dx = (3/2)x^2 - (1/3)x^3 + C

2. Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до 3:

S = [(3/2)(3^2) - (1/3)(3^3)] - [(3/2)(0^2) - (1/3)(0^3)]

S = [(3/2)(9) - (1/3)(27)] - [0]

S = (27/2) - 9

S = (27/2) - (18/2) = 9/2.

Ответ: Площадь области, ограниченной графиками функций y = x^2 и y = 3x, равна 9/2.