Давайте по порядку решим все предложенные пределы.

1. Найдем предел: lim(n→∞) (2n^5 + 6n^3 + 9) / (n^5 + 11n^2 + 3n).

1. Сначала определим степень наибольшего члена в числителе и знаменателе. В числителе это 2n^5, а в знаменателе n^5.
2. Теперь разделим все члены числителя и знаменателя на n^5:
3. (2 + 6/n^2 + 9/n^5) / (1 + 11/n^3 + 3/n^4).
4. Теперь, когда n стремится к бесконечности, члены с n в знаменателе стремятся к нулю:
5. lim(n→∞) (2 + 0 + 0) / (1 + 0 + 0) = 2/1 = 2.

Ответ: Предел равен 2.

2. Найдем предел: lim(n→∞) (5n^8 - 7n^2 + 2n) / (4n^2 + n + 6).

1. Находим степень наибольшего члена: в числителе 5n^8, в знаменателе 4n^2.
2. Делим все члены на n^8:
3. (5 - 7/n^6 + 2/n^7) / (4/n^6 + 1/n^7 + 6/n^8).
4. При n стремящемся к бесконечности, все члены с n в знаменателе стремятся к нулю:
5. lim(n→∞) (5 - 0 + 0) / (0 + 0 + 0) = ∞.

Ответ: Предел равен бесконечности.

3. Найдем предел: lim(x→3) (x^2 - 9) / (x^2 - 5x + 6).

1. Сначала подставим x = 3:
2. (3^2 - 9) / (3^2 - 5*3 + 6) = (9 - 9) / (9 - 15 + 6) = 0/0, что является неопределённостью.
3. Теперь упростим дробь. Числитель можно разложить:
4. x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3), а знаменатель x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).
5. Теперь дробь выглядит так:
6. (x - 3)(x + 3) / ((x - 2)(x - 3)).
7. Сократим (x - 3):
8. (x + 3) / (x - 2).
9. Теперь подставим x = 3:
10. (3 + 3) / (3 - 2) = 6/1 = 6.

Ответ: Предел равен 6.

4. Найдем предел: lim(x→7) (14 / (x^2 - 49) - 1 / (x - 7)).

1. Сначала упростим дробь. Заметим, что x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7).
2. Таким образом, дробь выглядит так:
3. 14 / ((x - 7)(x + 7)) - 1 / (x - 7).
4. Приведем к общему знаменателю:
5. (14 - (x + 7)) / ((x - 7)(x + 7)) = (7 - x) / ((x - 7)(x + 7)).
6. Теперь подставим x = 7:
7. (7 - 7) / (0) = 0/0, что является неопределённостью.
8. Перепишем дробь:
9. -(x - 7) / ((x - 7)(x + 7)) = -1 / (x + 7).
10. Теперь подставим x = 7:
11. -1 / (7 + 7) = -1/14.

Ответ: Предел равен -1/14.

5. Найдем предел: lim(x→4) (x + 4) / (√(8 + x) - 2).

1. Сначала подставим x = 4:
2. (4 + 4) / (√(8 + 4) - 2) = 8 / (√12 - 2) = 8 / (2√3 - 2).
3. Это также неопределенность, поэтому умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение:
4. (x + 4)(√(8 + x) + 2) / ((√(8 + x) - 2)(√(8 + x) + 2)).
5. Далее, упростим дробь:
6. (x + 4)(√(8 + x) + 2) / (8 + x - 4) = (x + 4)(√(8 + x) + 2) / (x + 4).
7. Сократим (x + 4):
8. √(8 + x) + 2.
9. Теперь подставим x = 4:
10. √(12) + 2 = 2√3 + 2.

Ответ: Предел равен 2√3 + 2.

6. Найдем предел: lim(x→∞) (√(3x^2 + 7) - √(3x^2 + 2x)).

1. Чтобы упростить выражение, умножим и разделим на сопряженное:
2. (√(3x^2 + 7) - √(3x^2 + 2x)) * (√(3x^2 + 7) + √(3x^2 + 2x)) / (√(3x^2 + 7) + √(3x^2 + 2x)).
3. В числителе получим:
4. (3x^2 + 7) - (3x^2 + 2x) = 7 - 2x.
5. В знаменателе:
6. √(3x^2 + 7) + √(3x^2 + 2x).
7. Теперь предел выглядит так:
8. (7 - 2x) / (√(3x^2 + 7) + √(3x^2 + 2x)).
9. При x стремящемся к бесконечности, доминирующие члены в числителе и знаменателе:
10. -2x / (√(3x^2) + √(3x^2)) = -2x / (√3x + √3x) = -2x / (2√3x) = -1/√3.

Ответ: Предел равен -1/√3.