Чтобы найти область определения функции y = -9 + √(-x² + 4x + 12), нам нужно определить, при каких значениях x подкоренное выражение неотрицательно, так как квадратный корень из отрицательного числа не определен в действительных числах.

Рассмотрим подкоренное выражение: -x² + 4x + 12. Мы можем переписать его в более удобной форме:

-x² + 4x + 12 = -(x² - 4x - 12).

Теперь найдем корни уравнения x² - 4x - 12 = 0 с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac = (-4)² - 4 * 1 * (-12) = 16 + 48 = 64.
• Корни уравнения находятся по формуле: x = (−b ± √D) / (2a).
• Таким образом, x1 = (4 + 8) / 2 = 6 и x2 = (4 - 8) / 2 = -2.

Теперь мы знаем, что парабола, описываемая выражением x² - 4x - 12, имеет свои корни в точках x = -2 и x = 6. Поскольку коэффициент при x² отрицательный, парабола направлена вниз. Это означает, что подкоренное выражение будет неотрицательным на интервале между корнями:

Таким образом, область определения функции:

Теперь найдем область значений функции. Подкоренное выражение принимает максимальное значение в вершине параболы. Вершина параболы находится по формуле x = -b / (2a). В нашем случае:

• a = -1, b = 4.
• x_вершины = -4 / (2 * -1) = 2.

Теперь найдем значение функции в этой точке:

Подставим x = 2 в подкоренное выражение:

-x² + 4x + 12 = -2² + 4*2 + 12 = -4 + 8 + 12 = 16.

Следовательно, максимальное значение подкоренного выражения равно 16. Теперь подставим это значение в исходную функцию:

y = -9 + √16 = -9 + 4 = -5.

Минимальное значение функции будет достигнуто на границах области определения, то есть:

• Для x = -2: y = -9 + √(-(-2)² + 4*(-2) + 12) = -9 + √0 = -9.
• Для x = 6: y = -9 + √(-6² + 4*6 + 12) = -9 + √0 = -9.

Таким образом, область значений функции будет от -9 до -5: