Для нахождения объема тела, образованного при вращении плоской фигуры вокруг оси абсцисс, мы можем использовать метод дисков. Давайте разберем шаги решения этой задачи.

1. Определим границы интегрирования:

   Наша фигура ограничена следующими линиями:

   • y = x^2 (парабола)
   • x = 1 (вертикальная прямая)
   • y = 0 (горизонтальная прямая, ось абсцисс)
   • x = 2 (вертикальная прямая)

   Таким образом, мы будем интегрировать от x = 1 до x = 2.

2. Запишем формулу для объема:

   Объем V тела, полученного вращением фигуры вокруг оси абсцисс, можно вычислить по формуле:

   V = π * ∫[a, b] (f(x))^2 dx

   где f(x) - функция, определяющая верхнюю границу фигуры, а a и b - границы интегрирования.

3. Подставим наши значения:

   В нашем случае f(x) = x^2, a = 1 и b = 2. Подставим эти значения в формулу:

   V = π * ∫[1, 2] (x^2)^2 dx = π * ∫[1, 2] x^4 dx

4. Вычислим интеграл:

   Теперь найдем интеграл:

   ∫ x^4 dx = (1/5)x^5 + C

   Теперь подставим пределы интегрирования:

   V = π * [(1/5)(2^5) - (1/5)(1^5)]

   Сначала вычислим (1/5)(2^5) и (1/5)(1^5):

   • (1/5)(2^5) = (1/5)(32) = 32/5
   • (1/5)(1^5) = (1/5)(1) = 1/5

   Теперь подставим эти значения:

   V = π * [32/5 - 1/5] = π * [31/5]

5. Запишем окончательный ответ:

   Таким образом, объем тела, образованного при вращении фигуры, равен:

   V = (31/5)π

Это и есть искомый объем. Если у вас есть вопросы по каким-либо шагам, не стесняйтесь задавать их!