Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Обозначим количество людей в красных колпаках как R, а количество людей в синих колпаках как B. Из условия мы знаем, что:

• Общее количество людей: R + B = 12
• Сумма названных чисел равна 31
• Количество людей в красных колпаках не больше, чем в синих: R ≤ B

Теперь давайте разберемся с тем, что именно сказали люди в колпаках:

• Каждый человек в красном колпаке сообщает, сколько людей в красных колпаках стоит позади него. Если, например, за человеком в красном колпаке стоит 3 человека в красных колпаках, он скажет "3".
• Каждый человек в синем колпаке сообщает, сколько людей в синих колпаках стоит перед ним. Если перед ним 2 человека в синих колпаках, он скажет "2".

Теперь давайте посчитаем, сколько всего чисел назовут люди в красных и синих колпаках:

Люди в красных колпаках назовут числа от R-1 до 0 (то есть, если за ними не стоит никого, они скажут 0, если один, то 1 и так далее). Таким образом, сумма, которую назовут люди в красных колпаках, будет равна:

(R - 1) + (R - 2) + ... + 0 = (R * (R - 1)) / 2

Люди в синих колпаках назовут числа от 0 до B-1 (то есть, если перед ними 0, они скажут 0, если один, то 1 и так далее). Таким образом, сумма, которую назовут люди в синих колпаках, будет равна:

(B - 1) + (B - 2) + ... + 0 = (B * (B - 1)) / 2

Теперь мы можем записать уравнение для суммы:

(R * (R - 1)) / 2 + (B * (B - 1)) / 2 = 31

Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

R * (R - 1) + B * (B - 1) = 62

Теперь подставим B = 12 - R в это уравнение:

R * (R - 1) + (12 - R) * (11 - R) = 62

Раскроем скобки:

R * (R - 1) + (12 * 11 - 12R - 11R + R^2) = 62

Упростим уравнение:

R^2 - R + 132 - 23R + R^2 = 62

2R^2 - 24R + 132 - 62 = 0

2R^2 - 24R + 70 = 0

Разделим все на 2:

R^2 - 12R + 35 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-12)^2 - 4 * 1 * 35 = 144 - 140 = 4

Корни уравнения:

R = (12 ± √D) / 2 = (12 ± 2) / 2

Это дает нам два значения:

• R1 = (12 + 2) / 2 = 7
• R2 = (12 - 2) / 2 = 5

Теперь проверим оба значения на соответствие условию R ≤ B:

• Если R = 7, то B = 5, и это условие выполняется.
• Если R = 5, то B = 7, и это условие тоже выполняется.

Таким образом, возможные значения для количества людей в красных колпаках: 5 или 7. Но поскольку в условии сказано, что "людей в красных колпаках не больше, чем в синих", то правильный ответ: