Чтобы определить, сколько раз цифра 0 встречается в записи всех натуральных чисел от 1 до 2020, будем рассматривать каждую цифру в числах от 1 до 2020 по отдельности.

Сначала заметим, что цифра 0 не встречается в числах от 1 до 9, так как эти числа состоят только из единичных цифр. Далее, мы можем разбить задачу на несколько диапазонов:

1. Числа от 1 до 9:
   • Цифра 0 не встречается.
2. Числа от 10 до 99:
   • Цифра 0 может встречаться только в десятках: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90.
   • Всего 9 чисел, в которых цифра 0 встречается один раз.
3. Числа от 100 до 999:
   • Цифра 0 может быть в единицах и десятках.
   • В каждом сотом диапазоне (100-199, 200-299, ..., 900-999) у нас есть 10 чисел с 0 на месте единиц (100, 110, 120, ..., 190) и 10 чисел с 0 на месте десятков (100, 200, ..., 900).
   • Таким образом, в каждом из 9 сотых диапазонов цифра 0 встречается 20 раз.
   • Итого: 20 * 9 = 180 раз.
4. Числа от 1000 до 1999:
   • Цифра 0 может быть в десятках, единицах и сотнях.
   • В этом диапазоне мы также имеем 100 чисел с 0 на месте единиц (1000-1009, 1010-1019, ..., 1990-1999), 100 чисел с 0 на месте десятков (1000, 1010, ..., 1990) и 100 чисел с 0 на месте сотен (1000-1099).
   • Итого: 300 раз.
5. Числа от 2000 до 2020:
   • Цифра 0 встречается в числах 2000, 2001, 2002, ..., 2009 (всего 10 раз) и в числах 2010, 2011, ..., 2019 (всего 10 раз).
   • Итого: 10 + 10 = 20 раз.

Теперь складываем все найденные количества:

• 0 раз (от 1 до 9)
• 9 раз (от 10 до 99)
• 180 раз (от 100 до 999)
• 300 раз (от 1000 до 1999)
• 20 раз (от 2000 до 2020)

Суммируем: 0 + 9 + 180 + 300 + 20 = 509.

Ответ: Цифра 0 встречается 509 раз в записи всех натуральных чисел от 1 до 2020.