2025-10-15 16:47:52
В государстве 22 города располагаются на территории областей так, что любые два города из одной области соединены дорогой и никакие два города из разных областей дорогой не соединены. Оказалось, что ответственность за состояние дорог можно распределить между двумя региональными министерствами следующим образом: не найдётся таких трёх городов А, В, С из одной области, чтобы дороги АВ, ВС и СА обслуживались бы одним министерством. Какое наибольшее число дорог может быть в этом государстве?
Математика 6 класс Комбинаторная геометрия города области дороги ответственность Министерства задачи математика графы комбинаторика 6 класс
2025-10-15 16:48:15
Для решения этой задачи мы можем использовать понятие графов. В данной ситуации города можно представить как вершины графа, а дороги между ними - как ребра. Условия задачи говорят о том, что в каждой области города соединены между собой, а между областями дорог нет. Это означает, что мы имеем несколько подграфов, каждый из которых является полным графом.
Теперь давайте рассмотрим вторую часть условия: не должно быть таких трех городов A, B и C из одной области, чтобы дороги AB, BC и CA обслуживались бы одним министерством. Это условие говорит нам о том, что в каждой области не может быть треугольника (то есть полного графа K3). Это означает, что каждая область может быть представлена как граф без треугольников.
Граф без треугольников называется "бипартитным графом". В бипартитном графе можно разделить вершины на две группы так, что ребра соединяют только вершины из разных групп.
Теперь давайте определим, какое максимальное количество ребер может быть в таком графе. Для этого мы воспользуемся формулой для бипартитного графа. Если у нас есть n вершин, и мы можем разбить их на две группы, то максимальное количество ребер будет достигнуто, когда одна группа содержит k вершин, а другая - (n-k) вершин. Максимальное количество ребер будет равно k * (n-k).
В нашем случае у нас есть 22 города. Мы можем разбить эти города на две группы, чтобы максимизировать количество дорог. Для этого нам нужно найти значение k, которое максимизирует выражение k * (22 - k).
Рассмотрим возможные варианты:
- Если k = 11, то количество ребер будет 11 * 11 = 121.
- Если k = 10, то количество ребер будет 10 * 12 = 120.
- Если k = 12, то количество ребер будет 12 * 10 = 120.
Таким образом, максимальное количество ребер (дорог) в одной области, при условии, что в ней нет треугольников, составляет 121.
Таким образом, если в государстве всего 22 города и они могут быть разбиты на две области, то наибольшее число дорог, которое может быть в этом государстве, составляет 121.