В гробнице в ряд стояли 124 фигурки ушебти. Некоторые были фаянсовыми, остальные каменными. Каждая фигурка имела массу 100 или 200 граммов. По древнему заклятию рядом с каждой двухсотграммовой фигуркой должны стоять две каменных, а рядом с каждой стогр...
В гробнице в ряд стояли 124 фигурки ушебти. Некоторые были фаянсовыми, остальные каменными. Каждая фигурка имела массу 100 или 200 граммов. По древнему заклятию рядом с каждой двухсотграммовой фигуркой должны стоять две каменных, а рядом с каждой стограммовой — хотя бы одна каменная. Расхититель гробниц вынес все фаянсовые ушебти. Какой максимальный вес он мог унести?
Давайте разберем задачу по шагам.
1. **Определим обозначения**:
- Пусть x - количество фигурок весом 100 граммов (стограммовые).
- Пусть y - количество фигурок весом 200 граммов (двухсотграммовые).
- Пусть z - количество каменных фигурок.
2. **Составим уравнение**:
Мы знаем, что всего фигурок 124, значит:
x + y + z = 124.
3. **Условия задачи**:
- Каждая двухсотграммовая фигурка должна иметь 2 каменные рядом, значит, для y фигурок весом 200 граммов нам нужно 2y каменных фигурок.
- Каждая стограммовая фигурка должна иметь хотя бы одну каменную рядом, значит, для x фигурок весом 100 граммов нам нужно хотя бы x каменных фигурок.
Это дает нам следующее неравенство:
z >= 2y + x.
4. **Подставим z в первое уравнение**:
Из первого уравнения мы можем выразить z:
z = 124 - x - y.
Теперь подставим это значение в неравенство:
124 - x - y >= 2y + x.
5. **Упростим неравенство**:
124 >= 2y + x + x + y,
124 >= 2x + 3y,
2x + 3y <= 124.
6. **Определим максимальный вес**:
Теперь мы хотим максимизировать вес, который может вынести расхититель. Вес фигурок можно выразить как:
W = 100x + 200y.
Чтобы максимизировать W, нам нужно максимизировать y, так как 200 граммов больше, чем 100 граммов.
7. **Решим систему уравнений**:
У нас есть:
- 2x + 3y <= 124
- x + y + z = 124.
Подставим максимальное значение для y. Если y = 41 (это максимальное целое значение, которое не превышает 124/3), тогда:
2x + 3*41 <= 124,
2x + 123 <= 124,
2x <= 1,
x <= 0.5.
Поскольку x - целое число, x = 0.
Теперь подставим y = 41 и x = 0 в первое уравнение:
z = 124 - 0 - 41 = 83.
8. **Подсчитаем вес**:
Теперь мы можем подсчитать максимальный вес:
W = 100*0 + 200*41 = 8200 граммов.
Таким образом, максимальный вес, который мог унести расхититель гробниц, составляет 8200 граммов.
