Для решения этой задачи давайте разберемся, что происходит на каждом шаге, когда Антон вычитает сумму цифр из своего числа.

Пусть n - это натуральное число, которое придумал Антон. Сумма цифр числа n обозначим S(n). После первого вычитания мы получаем:

n - S(n)

На каждом шаге мы продолжаем вычитать сумму цифр из текущего числа. Чтобы понять, как это влияет на число, давайте рассмотрим, что происходит с суммой цифр.

Сумма цифр S(n) всегда меньше или равна n. Таким образом, после каждого вычитания число уменьшается, и оно остается натуральным до тех пор, пока не станет равным нулю.

Теперь давайте определим, как быстро число может уменьшаться. Если мы хотим, чтобы число стало нулем после 15 вычитаний, нам нужно, чтобы:

• n - 15 * S(n) = 0

Это указывает на то, что сумма цифр S(n) должна быть достаточно большой, чтобы за 15 шагов число стало нулем.

Теперь давайте попробуем найти наименьшее и наибольшее число, которое мог придумать Антон.

Рассмотрим, что если S(n) = 9, то после 15 вычитаний:

• n - 15 * 9 = 0

Это означает, что n = 135. Проверим, что это число действительно подходит:

• Сумма цифр 135: 1 + 3 + 5 = 9
• 135 - 9 = 126
• 126 - 9 = 117
• 117 - 9 = 108
• 108 - 9 = 99
• 99 - 9 = 90
• 90 - 9 = 81
• 81 - 9 = 72
• 72 - 9 = 63
• 63 - 9 = 54
• 54 - 9 = 45
• 45 - 9 = 36
• 36 - 9 = 27
• 27 - 9 = 18
• 18 - 9 = 9
• 9 - 9 = 0

Таким образом, наименьшее число, которое мог придумать Антон, это 135.

Теперь найдем наибольшее число. Если S(n) будет больше, например, 18, то:

• n - 15 * 18 = 0

Это означает, что n = 270. Проверим, подходит ли это число:

• Сумма цифр 270: 2 + 7 + 0 = 9
• 270 - 9 = 261
• 261 - 9 = 252
• 252 - 9 = 243
• 243 - 9 = 234
• 234 - 9 = 225
• 225 - 9 = 216
• 216 - 9 = 207
• 207 - 9 = 198
• 198 - 9 = 189
• 189 - 9 = 180
• 180 - 9 = 171
• 171 - 9 = 162
• 162 - 9 = 153
• 153 - 9 = 144
• 144 - 9 = 135
• 135 - 9 = 126
• 126 - 9 = 117
• 117 - 9 = 108
• 108 - 9 = 99
• 99 - 9 = 90
• 90 - 9 = 81
• 81 - 9 = 72
• 72 - 9 = 63
• 63 - 9 = 54
• 54 - 9 = 45
• 45 - 9 = 36
• 36 - 9 = 27
• 27 - 9 = 18
• 18 - 9 = 9
• 9 - 9 = 0

Таким образом, наибольшее число, которое мог придумать Антон, это 270.

В итоге, наименьшее число - 135, наибольшее число - 270.