Давайте разберем оба вопроса по порядку.

1. Найдем цифру x, чтобы числа 1x и 16 были взаимно простыми.

Для того чтобы два числа были взаимно простыми, их наибольший общий делитель (НОД) должен быть равен 1. То есть, мы должны найти такие значения x, при которых НОД(1x, 16) = 1.

Число 16 можно разложить на простые множители: 16 = 2^4. Это значит, что 16 делится на 2.

Теперь, чтобы 1x (где x - это цифра от 0 до 9) было взаимно простым с 16, оно не должно делиться на 2. Это значит, что 1x должно быть нечетным числом. Число 1x будет нечетным, если последняя цифра x также нечетная. Таким образом, возможные значения для x - это 1, 3, 5, 7 и 9.

Теперь проверим каждое из значений:

• Если x = 1, то 11 и 16, НОД(11, 16) = 1.
• Если x = 3, то 13 и 16, НОД(13, 16) = 1.
• Если x = 5, то 15 и 16, НОД(15, 16) = 1.
• Если x = 7, то 17 и 16, НОД(17, 16) = 1.
• Если x = 9, то 19 и 16, НОД(19, 16) = 1.

Таким образом, все значения x = 1, 3, 5, 7, 9 подходят, чтобы числа 1x и 16 были взаимно простыми.

2. Найдем все числа вида 1x2y, которые делятся на 15.

Число делится на 15, если оно делится на 3 и на 5. Давайте проверим эти условия по отдельности:

Условие делимости на 5:

Число делится на 5, если его последняя цифра (y) равна 0 или 5. Таким образом, y может быть 0 или 5.

Условие делимости на 3:

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Сумма цифр числа 1x2y равна 1 + x + 2 + y = x + y + 3.

Теперь проверим оба случая для y:

• Если y = 0, то сумма цифр: x + 0 + 3 = x + 3. Это число должно делиться на 3.
• Если y = 5, то сумма цифр: x + 5 + 3 = x + 8. Это число также должно делиться на 3.

Теперь найдем возможные значения для x:

Случай 1: y = 0

• Если x = 0, сумма = 3 (делится на 3).
• Если x = 1, сумма = 4 (не делится на 3).
• Если x = 2, сумма = 5 (не делится на 3).
• Если x = 3, сумма = 6 (делится на 3).
• Если x = 4, сумма = 7 (не делится на 3).
• Если x = 5, сумма = 8 (не делится на 3).
• Если x = 6, сумма = 9 (делится на 3).
• Если x = 7, сумма = 10 (не делится на 3).
• Если x = 8, сумма = 11 (не делится на 3).
• Если x = 9, сумма = 12 (делится на 3).

Таким образом, для y = 0 возможные значения x: 0, 3, 6, 9.

Случай 2: y = 5

• Если x = 0, сумма = 8 (не делится на 3).
• Если x = 1, сумма = 9 (делится на 3).
• Если x = 2, сумма = 10 (не делится на 3).
• Если x = 3, сумма = 11 (не делится на 3).
• Если x = 4, сумма = 12 (делится на 3).
• Если x = 5, сумма = 13 (не делится на 3).
• Если x = 6, сумма = 14 (не делится на 3).
• Если x = 7, сумма = 15 (делится на 3).
• Если x = 8, сумма = 16 (не делится на 3).
• Если x = 9, сумма = 17 (не делится на 3).

Таким образом, для y = 5 возможные значения x: 1, 4, 7.

Теперь объединим результаты:

• Для y = 0: 1000, 1030, 1060, 1090.
• Для y = 5: 1155, 1455, 1755.

Итак, все числа вида 1x2y, которые делятся на 15: 1000, 1030, 1060, 1090, 1155, 1455, 1755.