Как раскрыть скобки в выражении (x-2y)^4 × (y-2x)^5 для 7 класса?

Математика 7 класс Разложение многочленов раскрытие скобок алгебра выражения (x-2y)^4 (y-2x)^5 математика 7 класс степени умножение формулы бинома учебный материал задачи по математике Новый

Чтобы раскрыть скобки в выражении (x-2y)^4 × (y-2x)^5, мы можем воспользоваться формулой бинома Ньютона и свойствами произведения. Давайте разберем это шаг за шагом.

Шаг 1: Раскрытие первой скобки (x-2y)^4

• Согласно формуле бинома Ньютона, (a - b)^n = Σ (C(n, k) * a^(n-k) * (-b)^k), где C(n, k) - биномиальный коэффициент.
• В нашем случае a = x, b = 2y и n = 4.
• Мы можем записать (x - 2y)^4 как:

1. C(4, 0) * x^4 * (-2y)^0 = 1 * x^4 * 1 = x^4
2. C(4, 1) * x^3 * (-2y)^1 = 4 * x^3 * (-2y) = -8x^3y
3. C(4, 2) * x^2 * (-2y)^2 = 6 * x^2 * 4y^2 = 24x^2y^2
4. C(4, 3) * x^1 * (-2y)^3 = 4 * x * (-8y^3) = -32xy^3
5. C(4, 4) * x^0 * (-2y)^4 = 1 * 16y^4 = 16y^4

Таким образом, (x - 2y)^4 = x^4 - 8x^3y + 24x^2y^2 - 32xy^3 + 16y^4.

Шаг 2: Раскрытие второй скобки (y-2x)^5

• Аналогично, здесь a = y, b = 2x и n = 5.
• Записываем (y - 2x)^5:

1. C(5, 0) * y^5 * (-2x)^0 = 1 * y^5 * 1 = y^5
2. C(5, 1) * y^4 * (-2x)^1 = 5 * y^4 * (-2x) = -10y^4x
3. C(5, 2) * y^3 * (-2x)^2 = 10 * y^3 * 4x^2 = 40y^3x^2
4. C(5, 3) * y^2 * (-2x)^3 = 10 * y^2 * (-8x^3) = -80y^2x^3
5. C(5, 4) * y^1 * (-2x)^4 = 5 * y * 16x^4 = 80yx^4
6. C(5, 5) * y^0 * (-2x)^5 = 1 * (-32x^5) = -32x^5

Таким образом, (y - 2x)^5 = y^5 - 10y^4x + 40y^3x^2 - 80y^2x^3 + 80yx^4 - 32x^5.

Шаг 3: Перемножение двух раскрытых скобок

Теперь мы можем перемножить оба выражения:

• (x^4 - 8x^3y + 24x^2y^2 - 32xy^3 + 16y^4) × (y^5 - 10y^4x + 40y^3x^2 - 80y^2x^3 + 80yx^4 - 32x^5).

Это достаточно сложный процесс, так как нужно перемножить каждый член первого выражения на каждый член второго. Результатом будет многочлен, содержащий различные степени x и y.

Заключение

Раскрытие скобок в данном выражении требует применения формулы бинома Ньютона и дальнейшего перемножения. Это хороший способ отработать навыки работы с многочленами и биномиальными коэффициентами.