Чтобы найти сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, нам нужно сначала определить первый член прогрессии и разность между членами. Затем мы можем использовать формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии.

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

S_n = n/2 * (2a + (n - 1)d),

где:

• S_n - сумма первых n членов,
• a - первый член,
• d - разность прогрессии,
• n - количество членов, которые мы суммируем.

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно:

а) Прогрессия: 2/3, 3/4, ...

1. Первый член (a) = 2/3.
2. Найдем разность (d): d = 3/4 - 2/3.
3. Чтобы вычесть дроби, найдем общий знаменатель. Общий знаменатель для 4 и 3 - это 12:
• 3/4 = 9/12,
• 2/3 = 8/12.
4. Теперь d = 9/12 - 8/12 = 1/12.
5. Теперь подставим значения в формулу:
• n = 10,
• S_10 = 10/2 * (2 * (2/3) + (10 - 1) * (1/12)).
• Упростим: S_10 = 5 * (4/3 + 9/12).
• Найдем общий знаменатель для 3 и 12 - это 12:
• 4/3 = 16/12.
• Теперь S_10 = 5 * (16/12 + 9/12) = 5 * (25/12) = 125/12.

Ответ: Сумма первых десяти членов прогрессии 2/3, 3/4, ... равна 125/12.

б) Прогрессия: √3, √12, ...

1. Первый член (a) = √3.
2. Найдем разность (d): d = √12 - √3.
3. Упростим √12: √12 = √(4*3) = 2√3.
4. Теперь d = 2√3 - √3 = (2 - 1)√3 = √3.
5. Теперь подставим значения в формулу:
• n = 10,
• S_10 = 10/2 * (2 * √3 + (10 - 1) * √3).
• Упростим: S_10 = 5 * (2√3 + 9√3) = 5 * 11√3 = 55√3.

Ответ: Сумма первых десяти членов прогрессии √3, √12, ... равна 55√3.