Может ли число, в котором все цифры равны 1, делиться нацело на число, в котором все цифры равны 2?

Математика 7 класс Делимость чисел число цифры Делимость нацело математика 7 класс равные цифры деление примеры задачи Новый

Давайте разберёмся с этим вопросом шаг за шагом.

Предположим, у нас есть число, в котором все цифры равны 1. Такое число можно представить в виде 111...1, где количество единиц обозначим за n. Это число можно записать как:

• 1
• 11
• 111
• и так далее.

Теперь предположим, что у нас есть число, в котором все цифры равны 2. Такое число можно представить в виде 222...2, где количество двоек обозначим за m. Это число можно записать как:

• 2
• 22
• 222
• и так далее.

Задача заключается в том, чтобы выяснить, может ли число, состоящее из n единиц, делиться нацело на число, состоящее из m двоек.

Рассмотрим число из n единиц. Его можно записать в виде дроби: (10^n - 1) / 9. Это связано с тем, что 111...1 (n единиц) можно представить как геометрическую прогрессию, где каждый член является степенью десятки, уменьшенной на единицу. Например:

• 11 = (10^2 - 1) / 9
• 111 = (10^3 - 1) / 9
• и так далее.

Теперь рассмотрим число из m двоек. Его можно записать как 2 * (10^m - 1) / 9 по аналогии с числом из единиц.

Чтобы число из n единиц делилось на число из m двоек, дробь (10^n - 1) / 9 должна быть кратна дроби 2 * (10^m - 1) / 9. Это значит, что (10^n - 1) должно быть кратно 2 * (10^m - 1).

Однако, при любом n и m, (10^n - 1) не может быть кратно 2 * (10^m - 1), так как 10^n - 1 всегда чётное, а 2 * (10^m - 1) всегда нечётное (так как 10^m - 1 чётное, а умножение на 2 делает его нечётным).

Таким образом, число, в котором все цифры равны 1, не может делиться нацело на число, в котором все цифры равны 2.