Для решения задачи нам необходимо понять, как жуки движутся по квадрату и как они могут обгонять друг друга только в вершинах. Давайте обозначим скорости жуков:

• Скорость первого жука - 15 мм/с;
• Скорость второго жука - 45 мм/с;
• Скорость третьего жука - v мм/с (это скорость самого медленного жука, которую мы хотим найти).

Теперь рассмотрим, как жуки движутся по квадрату. Поскольку они движутся в одном направлении, то обгон происходит только в вершинах. Это значит, что когда один жук достигает вершины, он может обогнать другого, который движется медленнее.

Чтобы найти скорость самого медленного жука, нам нужно проанализировать, как часто жуки будут встречаться на вершинах квадрата. Поскольку обгон происходит только в вершинах, это значит, что скорость самого медленного жука должна быть такой, чтобы он не смог обогнать более быстрых жуков.

Рассмотрим, как жуки будут перемещаться:

1. Первый жук (15 мм/с) будет двигаться по квадрату и достигнет вершины быстрее, чем третий жук (v мм/с).
2. Второй жук (45 мм/с) будет двигаться еще быстрее и также будет обгонять первого жука.

Теперь, чтобы найти скорость v, мы можем использовать условие, что третий жук (v) должен быть медленнее, чем оба других жука, но при этом достаточно быстрым, чтобы не "застревать" в обгонах. Таким образом, он должен быть медленнее 15 мм/с.

Если мы предположим, что v < 15 мм/с, то это будет соответствовать условию задачи. Однако, чтобы жук с такой скоростью не обгонял других, он должен быть значительно медленнее, чем 15 мм/с.

Таким образом, для того чтобы не происходило обгонов, скорость самого медленного жука должна быть равна 0 мм/с. Но в контексте данной задачи, чтобы жук все же двигался, можно предположить, что его скорость будет минимально возможной, но это будет 0 мм/с.

Итак, ответ на вопрос: скорость самого медленного жука равна 0 мм/с.