Садоводческое товарищество представляет из себя квадрат 8×8, разделенный на 64 равных квадратных участка. На участках растут одуванчики. На каком‑то участке 20 одуванчиков, а на каком‑то — 7. Количество одуванчиков на каждом участке отличается от количества одуванчиков на любом соседнем (то есть, участке, имеющим с ним одну общую сторону) ровно на 1. Сколько может быть участков, на которых в точности 20 одуванчиков? Найдите все возможные варианты.

Математика 7 класс Комбинаторика садоводческое товарищество квадрат 8×8 одуванчики участки количество одуванчиков соседние участки математическая задача возможные варианты Новый

Для решения этой задачи давайте сначала разберемся с тем, как распределены одуванчики по участкам. Мы знаем, что:

• Садоводческое товарищество представляет собой квадрат 8×8, то есть состоит из 64 участков.
• На каком-то участке 20 одуванчиков, а на каком-то — 7.
• Количество одуванчиков на каждом участке отличается от количества одуванчиков на любом соседнем участке ровно на 1.

Сначала определим, как может выглядеть распределение одуванчиков на участках. Если на одном участке 20 одуванчиков, то на соседних участках может быть:

• 19 одуванчиков (соседний участок сверху, снизу, слева или справа),
• 21 одуванчик (соседний участок сверху, снизу, слева или справа).

Аналогично, если на каком-то участке 7 одуванчиков, то на соседних участках может быть:

• 6 одуванчиков,
• 8 одуванчиков.

Теперь давайте представим, как может выглядеть распределение одуванчиков по участкам. Мы можем использовать следующую схему:

1. Пусть участок с 20 одуванчиками будет обозначен как A.
2. Участки с 19 и 21 одуванчиками будем обозначать как B и C соответственно.
3. Участки с 6 и 8 одуванчиками будем обозначать как D и E соответственно.

Теперь, если мы будем двигаться от участка с 20 одуванчиками (A) к участкам с 19 и 21 (B и C), то мы можем заметить, что:

• Если A = 20, то B = 19 и C = 21. Эти участки могут соседствовать друг с другом.
• Если в соседних участках, где 19 и 21, будут находиться участки с 18 и 22 соответственно, то мы можем продолжать это распределение.

Однако, чтобы на каком-то участке было 7 одуванчиков, нам нужно, чтобы 20 одуванчиков находились достаточно далеко от 7, чтобы не нарушать условие о разнице в 1 одуванчик между соседними участками. Таким образом, мы можем установить границы:

• Если 20 одуванчиков находится в центре, то 7 одуванчиков может находиться на краю, например, на углу.

Теперь давайте посчитаем, сколько участков может иметь 20 одуванчиков. Мы можем разместить 20 одуванчиков на любом внутреннем участке, а также на некоторых краевых участках. Однако, чтобы соблюсти правило о разнице в количестве одуванчиков, мы должны учитывать, что:

• Если участок с 20 одуванчиками находится на углу, то у него будет только 2 соседа.
• Если участок с 20 одуванчиками находится на краю, то у него будет 3 соседа.
• Если участок с 20 одуванчиками находится внутри, то у него будет 4 соседа.

Таким образом, возможные варианты расположения участков с 20 одуванчиками таковы:

• 4 участка на углах (например, (1,1), (1,8), (8,1), (8,8)).
• 24 участка на краях (например, (1,2), (1,3), ..., (1,7), (2,1), (3,1), ..., (7,1), (8,2), ..., (8,7), (2,8), ..., (7,8)).
• 36 участков внутри (например, (2,2), (2,3), ..., (7,7)).

Итак, общее количество участков, на которых может быть 20 одуванчиков, составляет 64 - 1 = 63, так как один участок занят 7 одуванчиками. Однако, в зависимости от расположения 7 одуванчиков, количество участков с 20 может варьироваться. Важно помнить, что на каждом участке, соседствующем с 20 одуванчиками, должно быть либо 19, либо 21 одуванчик.

Таким образом, возможные варианты могут быть различными, но максимальное количество участков с 20 одуванчиками, согласно правилам, может достигать 24, если 7 одуванчиков находятся на краю.