Чтобы найти количество десятизначных чисел, у которых поровну чётных и нечётных цифр, давайте разберем задачу по шагам.

Шаг 1: Определим количество чётных и нечётных цифр.

• В десятизначном числе должно быть 5 чётных и 5 нечётных цифр.

Шаг 2: Определим набор цифр.

• Чётные цифры: 0, 2, 4, 6, 8 (всего 5 цифр).
• Нечётные цифры: 1, 3, 5, 7, 9 (всего 5 цифр).

Шаг 3: Условия для первой цифры.

• Первая цифра не может быть 0, так как это десятизначное число. Она может быть одной из чётных цифр 2, 4, 6, 8 (всего 4 варианта).
• После первой цифры у нас остаются 9 позиций, которые могут быть заполнены любыми цифрами, включая 0.

Шаг 4: Распределение цифр.

• После выбора первой цифры мы можем выбрать 4 оставшиеся чётные цифры и 5 нечётных. Общее количество способов расставить 5 чётных и 5 нечётных цифр в 10 позиций можно найти с помощью формулы сочетаний.

Количество способов выбрать позиции для чётных цифр из 10 можно вычислить по формуле сочетаний C(10, 5), что равно 252.

Шаг 5: Подсчет общего количества.

• Итак, для первой цифры у нас 4 варианта.
• Для остальных 9 позиций у нас 5 чётных и 5 нечётных цифр, которые могут занимать оставшиеся места.
• Количество способов расставить оставшиеся цифры: 5^5 (для нечётных) * 4^4 (для чётных, включая 0).

Шаг 6: Подсчет итогового количества.

Таким образом, общее количество десятизначных чисел с равным количеством чётных и нечётных цифр будет равно:

4 * C(9, 5) * 5^5 * 4^4.

Где C(9, 5) - это количество способов выбрать 5 позиций из 9 для нечётных цифр.

Итак, итоговое числовое выражение будет:

4 * 126 * 3125 * 256.