Для начала, давайте разберемся с условиями задачи. У нас есть клетчатый многоугольник с периметром 20, и стороны этого многоугольника проходят по линиям сетки, где длина стороны клетки равна 1. Это означает, что каждая сторона многоугольника будет иметь целочисленное значение, так как они соответствуют длинам клеток.

Шаг 1: Определение минимально возможного количества вершин.

Чтобы минимизировать количество вершин многоугольника, нам нужно, чтобы стороны были как можно длиннее. В клетчатом многоугольнике с периметром 20, мы можем использовать длинные стороны, чтобы уменьшить количество вершин.

• Представим себе прямоугольник с длиной 10 и шириной 1. В этом случае у нас будет 4 вершины.
• Также можно рассмотреть прямоугольник с длиной 5 и шириной 5. В этом случае у нас будет 4 вершины.
• Таким образом, минимально возможное количество вершин для многоугольника с периметром 20 составляет 4.

Шаг 2: Определение максимально возможного количества вершин.

Теперь давайте рассмотрим, как мы можем увеличить количество вершин. Для этого нам нужно использовать короткие стороны, что приведет к увеличению числа углов.

• Если мы сделаем многоугольник с очень короткими сторонами, например, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, то мы получим 20 вершин.
• Однако, чтобы не нарушать правила о том, что стороны должны быть прямыми, нам нужно сделать так, чтобы каждая сторона была либо вертикальной, либо горизонтальной. Таким образом, мы можем создать фигуру с 20 вершинами, проходя по клеткам.

Таким образом, максимально возможное количество вершин для многоугольника с периметром 20 составляет 20.

Итог:

• Минимально возможное количество вершин: 4
• Максимально возможное количество вершин: 20