Дано: равнобедренный треугольник с вершиной A напротив основания BC, угол при вершине A = 120°. Высота, опущенная на боковую сторону (например, на AB) из вершины C, равна 9 см. Найти основание BC.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому углы при B и C равны и каждый равен (180° − 120°)/2 = 30°.
2. Обозначим боковую сторону через s: AB = AC = s. Площадь треугольника можно вычислить двумя способами.
   • Через сторону AB и высоту CH: S = (1/2)·AB·CH = (1/2)·s·9 = 9s/2.
   • Через две боковые стороны и угол между ними: S = (1/2)·AB·AC·sin∠A = (1/2)·s^2·sin120°. Так как sin120° = sin60° = sqrt(3)/2, получаем S = (1/2)·s^2·(sqrt(3)/2) = s^2·sqrt(3)/4.
3. Приравниваем площади: 9s/2 = s^2·sqrt(3)/4. Разделим обе части на s (s>0): 9/2 = s·sqrt(3)/4. Отсюда s = (9/2)·(4/sqrt(3)) = 18/sqrt(3) = 6·sqrt(3) см.
4. Теперь основание BC выразим через s. По теореме синусов или заметив, что BC = s·(sin120°/sin30°) = s·(sqrt(3)/2)/(1/2) = s·sqrt(3), получаем BC = s·sqrt(3) = (6·sqrt(3))·sqrt(3) = 6·3 = 18 см.

Ответ: основание треугольника равно 18 см.