Давайте начнем с заполнения таблицы. Мы будем использовать свойства наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК).

Сначала напомним, что:

• НОД (a, b) - это наибольшее число, на которое делятся оба числа a и b.
• НОК (a, b) - это наименьшее число, которое делится на оба числа a и b.
• Существует важное равенство: НОД(a, b) * НОК(a, b) = a * b.

Теперь заполним таблицу:

1. Для чисел 69 и 8:
• НОД(69, 8) = 1 (так как 69 и 8 не имеют общих делителей, кроме 1)
• НОК(69, 8) = (69 * 8) / НОД(69, 8) = (69 * 8) / 1 = 552
• НОД(69, 8) * НОК(69, 8) = 1 * 552 = 552
2. Для чисел 48 и 12:
• НОД(48, 12) = 12
• НОК(48, 12) = (48 * 12) / НОД(48, 12) = (48 * 12) / 12 = 48
• НОД(48, 12) * НОК(48, 12) = 12 * 48 = 576
3. Для чисел 3 и 15:
• НОД(3, 15) = 3
• НОК(3, 15) = (3 * 15) / НОД(3, 15) = (3 * 15) / 3 = 15
• НОД(3, 15) * НОК(3, 15) = 3 * 15 = 45
4. Для чисел 18 и 24:
• НОД(18, 24) = 6
• НОК(18, 24) = (18 * 24) / НОД(18, 24) = (18 * 24) / 6 = 72
• НОД(18, 24) * НОК(18, 24) = 6 * 72 = 432
5. Для чисел 60 и 90:
• НОД(60, 90) = 30
• НОК(60, 90) = (60 * 90) / НОД(60, 90) = (60 * 90) / 30 = 180
• НОД(60, 90) * НОК(60, 90) = 30 * 180 = 5400
6. Для чисел 1440 и 112:
• НОД(1440, 112) = 16
• НОК(1440, 112) = (1440 * 112) / НОД(1440, 112) = (1440 * 112) / 16 = 10080
• НОД(1440, 112) * НОК(1440, 112) = 16 * 10080 = 161280

Теперь мы можем записать заполненную таблицу:

• 69, 8: НОД = 1, НОК = 552, НОД * НОК = 552
• 48, 12: НОД = 12, НОК = 48, НОД * НОК = 576
• 3, 15: НОД = 3, НОК = 15, НОД * НОК = 45
• 18, 24: НОД = 6, НОК = 72, НОД * НОК = 432
• 60, 90: НОД = 30, НОК = 180, НОД * НОК = 5400
• 1440, 112: НОД = 16, НОК = 10080, НОД * НОК = 161280

Теперь дополним равенство:

Для любых натуральных чисел a и b произведение НОД(a, b) и НОК(a, b) = a * b.