Чтобы решить неравенство 4x³ - x > 0 с помощью метода интервалов, следуем следующим шагам:

1. Приведем неравенство к стандартному виду:

   Для этого перенесем x в правую часть:

   4x³ > x

   Теперь можно записать это неравенство в виде:

   4x³ - x > 0

2. Найдем корни уравнения:

   Решим уравнение 4x³ - x = 0:

   • Вынесем общий множитель x:
   • x(4x² - 1) = 0
   • Теперь у нас два множителя: x = 0 и 4x² - 1 = 0.
   • Решим 4x² - 1 = 0:
   • 4x² = 1
   • x² = 1/4
   • x = ±1/2.
   • Таким образом, корни уравнения: x = 0, x = 1/2, x = -1/2.
3. Определим интервалы:

   Корни делят числовую ось на следующие интервалы:

   • (-∞, -1/2)
   • (-1/2, 0)
   • (0, 1/2)
   • (1/2, +∞)
4. Проверим знак на каждом интервале:

   Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в неравенство 4x³ - x:

   • Для интервала (-∞, -1/2): возьмем, например, x = -1.

   4(-1)³ - (-1) = -4 + 1 = -3 (меньше 0)

   • Для интервала (-1/2, 0): возьмем, например, x = -0.25.

   4(-0.25)³ - (-0.25) = -0.25 + 0.25 = 0 (не больше 0)

   • Для интервала (0, 1/2): возьмем, например, x = 0.25.

   4(0.25)³ - (0.25) = 0.25 - 0.25 = 0 (не больше 0)

   • Для интервала (1/2, +∞): возьмем, например, x = 1.

   4(1)³ - (1) = 4 - 1 = 3 (больше 0)

5. Запишем ответ:

   Неравенство 4x³ - x > 0 выполняется на интервале (1/2, +∞).

   Таким образом, ответ: x > 1/2.