Чтобы доказать неравенство (3а-2)(а+2) < (1+2а) для любого значения а, начнем с преобразования левой части неравенства.

1. Раскроем скобки в левой части:

• (3а - 2)(а + 2) = 3а * а + 3а * 2 - 2 * а - 2 * 2
• Это равняется 3а^2 + 6а - 2а - 4 = 3а^2 + 4а - 4.

Таким образом, неравенство можно переписать как:

3а^2 + 4а - 4 < 1 + 2а.

2. Переносим все члены в одну сторону неравенства:

3а^2 + 4а - 4 - 1 - 2а < 0.

Это упрощается до:

3а^2 + 2а - 5 < 0.

3. Теперь нам нужно изучить квадратичное неравенство 3а^2 + 2а - 5 < 0. Для этого найдем корни уравнения 3а^2 + 2а - 5 = 0 с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 3 * (-5) = 4 + 60 = 64.
• Корни уравнения находятся по формуле: а = (-b ± √D) / (2a).
• Подставляем значения: а = (-2 ± √64) / (2 * 3) = (-2 ± 8) / 6.
• Таким образом, получаем два корня: а1 = 1 и а2 = -5/3.

4. Теперь мы знаем, что парабола, описываемая функцией 3а^2 + 2а - 5, открыта вверх (так как коэффициент при а^2 положителен). Она будет меньше нуля между корнями -5/3 и 1.

5. Проверим знаки функции на интервалах:

• Для а < -5/3: например, а = -2, 3(-2)^2 + 2(-2) - 5 = 12 - 4 - 5 = 3 (положительное).
• Для -5/3 < а < 1: например, а = 0, 3(0)^2 + 2(0) - 5 = -5 (отрицательное).
• Для а > 1: например, а = 2, 3(2)^2 + 2(2) - 5 = 12 + 4 - 5 = 11 (положительное).

6. Таким образом, неравенство 3а^2 + 2а - 5 < 0 выполняется для интервала:

-5/3 < а < 1.

7. Однако, поскольку мы ищем доказательство для любого значения а, можно заметить, что для значений а < -5/3 и а > 1 неравенство не выполняется. Следовательно, неравенство (3а-2)(а+2) < (1+2а) не является универсально верным для всех а.

Вывод: Неравенство верно только для значений а в интервале (-5/3, 1). Для значений а вне этого интервала неравенство не выполняется.