Докажите, что указанные ниже числа являются составными:

1. 11 в степени 9 плюс 9 в степени 11;
2. 10 в степени n минус 1, где n – натуральное число;
3. 1313 ... 13.

Математика 8 класс Составные и простые числа составные числа доказательство составных чисел математика 8 класс степени чисел натуральные числа примеры составных чисел Новый

Давайте разберем каждое из указанных чисел и докажем, что они являются составными. Составное число - это число, которое имеет больше двух делителей, то есть его можно разделить на 1, само число и еще хотя бы одно число.

1. 11 в степени 9 плюс 9 в степени 11

Рассмотрим число 11^9 + 9^11. Мы можем заметить, что оно имеет вид, который можно разложить:

• 11^9 = (11^3)^3 = 1331^3
• 9^11 = (9^3)^3 = 729^3

Однако, проще использовать метод проверки делимости. Обратим внимание на то, что 11^9 и 9^11 оба четные и нечетные числа, следовательно, их сумма будет четным числом.

Тем не менее, мы можем воспользоваться теоремой о разности квадратов:

• 11^9 + 9^11 = (11^3)^3 + (9^3)^3
• Это выражение можно представить как сумму кубов: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2).

Где a = 11^3 и b = 9^3. Значит, 11^9 + 9^11 делится на (11^3 + 9^3), что означает, что это число составное.

2. 10 в степени n минус 1

Теперь рассмотрим число 10^n - 1, где n – натуральное число. Мы можем заметить, что 10^n - 1 можно разложить с помощью формулы разности квадратов:

• 10^n - 1 = (10 - 1)(10^(n-1) + 10^(n-2) + ... + 1)

Здесь 10 - 1 = 9, что является составным числом, и вторая часть (10^(n-1) + 10^(n-2) + ... + 1) также является натуральным числом, больше 1. Таким образом, 10^n - 1 обязательно имеет делители, кроме 1 и самого числа, что делает его составным.

3. 1313 ... 13

Теперь давайте рассмотрим число 1313...13, где 13 повторяется n раз. Это число можно записать как:

• 13 * (10^(2n-2) + 10^(2n-4) + ... + 10^0)

Здесь 13 - это простое число. Однако, мы можем заметить, что сумма 10^(2n-2) + 10^(2n-4) + ... + 10^0 является геометрической прогрессией, и ее сумма может быть вычислена как:

• S = a * (1 - r^k) / (1 - r), где a - первый член, r - знаменатель, k - количество членов.

В нашем случае a = 1, r = 10^(-2), и количество членов n. Это число также больше 1, и, следовательно, 1313...13 делится на 13, что делает его составным.

Таким образом, мы доказали, что все указанные числа являются составными.