Задача. Решить уравнение x = ∛(x^3 - x^2 - 8x + 20).

1. Перенос в более удобный вид. Так как кубический корень определён для любых действительных чисел и функция возведения в третью степень взаимно однозначна (нечётная и монотонная), можно возвести обе части уравнения в третью степень без появления посторонних корней:

   x^3 = x^3 - x^2 - 8x + 20.

2. Приведём похожие члены. Перенесём правую часть в левую:

   0 = -x^2 - 8x + 20,

   или

   x^2 + 8x - 20 = 0.

3. Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

   D = 8^2 - 4·1·(-20) = 64 + 80 = 144,

   sqrt(D) = 12.

   Корни:

   x = (-8 ± 12)/2.

   • x1 = (-8 + 12)/2 = 4/2 = 2;
   • x2 = (-8 - 12)/2 = -20/2 = -10.
4. Проверка. Подставим найденные значения в исходное уравнение:
   • Для x = 2: правая часть ∛(8 - 4 - 16 + 20) = ∛8 = 2 — подходит.
   • Для x = -10: правая часть ∛(-1000 - 100 + 80 + 20) = ∛(-1000) = -10 — тоже подходит.

Ответ: x = 2 и x = -10.