Как можно доказать тождество: 2/(х^2 - 1) = 1/(х - 1) - 1/(х + 1>?

Математика 8 класс Тождественные преобразования дробей доказательство тождества математика 8 класс дроби алгебра тождество дробей решение уравнений математические тождества Новый

Чтобы доказать тождество 2/(x^2 - 1) = 1/(x - 1) - 1/(x + 1), начнем с правой части уравнения и попробуем привести её к общему знаменателю.

Шаг 1: Найдем общий знаменатель для дробей 1/(x - 1) и 1/(x + 1). Общим знаменателем будет произведение этих двух выражений, то есть (x - 1)(x + 1).

Шаг 2: Перепишем дроби с новым общим знаменателем:

• Первая дробь: 1/(x - 1) = (x + 1)/((x - 1)(x + 1))
• Вторая дробь: 1/(x + 1) = (x - 1)/((x - 1)(x + 1))

Шаг 3: Теперь можем записать правую часть уравнения с общим знаменателем:

1/(x - 1) - 1/(x + 1) = (x + 1)/((x - 1)(x + 1)) - (x - 1)/((x - 1)(x + 1))

Шаг 4: Теперь вычтем дроби:

=(x + 1 - (x - 1))/((x - 1)(x + 1))

Шаг 5: Упростим числитель:

x + 1 - x + 1 = 2

Шаг 6: Теперь у нас есть:

=(2)/((x - 1)(x + 1))

Шаг 7: Заметим, что (x - 1)(x + 1) = x^2 - 1, так как это разность квадратов. Теперь мы можем записать:

=(2)/(x^2 - 1)

Теперь сравним с левой частью тождества:

2/(x^2 - 1) = 2/(x^2 - 1)

Таким образом, мы доказали, что:

2/(x^2 - 1) = 1/(x - 1) - 1/(x + 1) является истинным тождеством.