Как можно определить все пары чисел, которые соответствуют уравнению х^2=y^2+2y+13?

Математика 8 класс Квадратные уравнения Пары чисел уравнение х^2 y^2 2y 13 решение уравнения математика 8 класс Новый

Для того чтобы определить все пары чисел (x, y), которые соответствуют уравнению x^2 = y^2 + 2y + 13, давайте сначала упростим это уравнение.

Мы можем переписать правую часть уравнения, чтобы лучше понять его структуру:

• Уравнение x^2 = y^2 + 2y + 13 можно переписать как x^2 = (y + 1)^2 + 12.

Теперь мы видим, что правая часть уравнения включает в себя квадратное выражение (y + 1)^2 и константу 12. Это означает, что x^2 всегда будет больше или равно 12, так как (y + 1)^2 всегда больше или равно 0.

Теперь давайте рассмотрим, что это означает для x:

• Так как x^2 >= 12, то это означает, что x может принимать значения, удовлетворяющие условию:
1. x >= √12 или x <= -√12.

Теперь давайте найдем возможные значения y для каждого значения x. Для этого мы можем выразить y через x:

• Сначала мы можем записать уравнение в виде:
1. y^2 + 2y + (13 - x^2) = 0.
• Это квадратное уравнение относительно y. Чтобы найти y, мы можем использовать дискриминант:

Дискриминант D для квадратного уравнения ay^2 + by + c = 0 равен D = b^2 - 4ac. В нашем случае:

• a = 1, b = 2, c = 13 - x^2.
• Тогда D = 2^2 - 4 * 1 * (13 - x^2) = 4 - 52 + 4x^2 = 4x^2 - 48.

Теперь, чтобы уравнение имело действительные корни, дискриминант должен быть неотрицательным:

• 4x^2 - 48 >= 0.
• 4x^2 >= 48.
• x^2 >= 12.
• x >= √12 или x <= -√12.

Таким образом, мы пришли к выводу, что x может принимать значения, удовлетворяющие условию x >= √12 или x <= -√12. Теперь мы можем найти соответствующие значения y:

• Используя формулу для корней квадратного уравнения, находим y:
1. y = (-b ± √D) / (2a) = (-2 ± √(4x^2 - 48)) / 2.
2. y = -1 ± √(x^2 - 12).

Таким образом, для каждого значения x, которое удовлетворяет условию x >= √12 или x <= -√12, мы можем найти два значения y:

• y1 = -1 + √(x^2 - 12),
• y2 = -1 - √(x^2 - 12).

Теперь, чтобы найти все пары (x, y), необходимо подставить различные целые значения для x, которые удовлетворяют условию x >= √12 или x <= -√12, и вычислить соответствующие значения y.

Таким образом, мы можем определить все пары чисел (x, y), удовлетворяющие данному уравнению.