Как можно разложить на множители следующие выражения и доказать некоторые равенства в математике?

1. Разложите на множители a² (b + c) + b² (a + c) + c² (a + b) + 2abc.
2. Покажите, что если a = b + 1, тогда (a + b) (a² + b²) (a² + b²)...(a64 + b64) = a128 - b128.
3. Покажите, что если a + b + c = 0, тогда a³ + b³ + c³ = 3abc.
4. Разложите на множители bc (b + c) + ac (c − a) – ab (a + b).
5. Покажите, что выражение 973 – 413 делится на 28 без остатка.
6. Покажите, что выражение 576 – 436 делится на 1400 без остатка.
7. Разложите на множители x² (y + z) + y² (x + z) + z²(x + y) + 3xyz.
8. Разложите на множители a³ + b³ + c² + ab (a + b) + ac (a + c) + bc (b + c).

Математика 8 класс Разложение на множители и доказательство равенств разложение на множители математические равенства выражения в алгебре доказательства в математике свойства чисел делимость чисел алгебраические выражения факторизация выражений Новый

Давайте разберем каждое из ваших заданий по очереди.

1. Разложите на множители a²(b + c) + b²(a + c) + c²(a + b) + 2abc.

Для начала, заметим, что это выражение можно представить в виде суммы кубов. Используем формулу:

• (x + y + z)³ = x³ + y³ + z³ + 3(x + y)(y + z)(z + x).

Используя это, мы можем записать:

• Рассмотрим x = a, y = b, z = c.
• Тогда a²(b + c) + b²(a + c) + c²(a + b) + 2abc = (a + b + c)³ - 3abc.

Таким образом, разложение будет:

(a + b + c)³ - 3abc = (a + b + c)((a + b + c)² - 3ab - 3bc - 3ca).

2. Покажите, что если a = b + 1, тогда (a + b)(a² + b²)(a² + b²)...(a64 + b64) = a128 - b128.

Подставим a = b + 1 в выражение:

• (b + 1 + b)((b + 1)² + b²)((b + 1)² + b²)...((b + 1)64 + b64) = (2b + 1)(b² + 2b + 1 + b²)...

Это можно упростить, используя свойства степеней и формулу разности квадратов:

• a128 - b128 = ((a - b)(a127 + a126b + ... + b127)),

где a - b = 1, что подтверждает данное равенство.

3. Покажите, что если a + b + c = 0, тогда a³ + b³ + c³ = 3abc.

Используем формулу для суммы кубов:

• a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc).

Если a + b + c = 0, то:

• a³ + b³ + c³ = 3abc.

Таким образом, равенство доказано.

4. Разложите на множители bc(b + c) + ac(c - a) – ab(a + b).

Соберем все члены:

• bc(b + c) + ac(c - a) - ab(a + b) = b(c² + ac - a²) + c(b² - ab) = (b + c)(bc - ab + ac).

Таким образом, разложение будет:

(b + c)(bc - ab + ac).

5. Покажите, что выражение 973 – 413 делится на 28 без остатка.

Сначала найдем разность:

• 973 - 413 = 560.

Теперь проверим делимость на 28:

• 560 / 28 = 20, остатка нет.

Следовательно, 560 делится на 28 без остатка.

6. Покажите, что выражение 576 – 436 делится на 1400 без остатка.

Находим разность:

• 576 - 436 = 140.

Теперь проверим делимость на 1400:

• 140 / 1400 = 0.1, остаток есть.

Таким образом, 140 не делится на 1400.

7. Разложите на множители x²(y + z) + y²(x + z) + z²(x + y) + 3xyz.

Это выражение также можно разложить следующим образом:

• (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - xz - yz).

Таким образом, разложение будет:

(x + y + z)((x - y)² + (y - z)² + (z - x)²).

8. Разложите на множители a³ + b³ + c² + ab(a + b) + ac(a + c) + bc(b + c).

Соберем все члены:

• a³ + b³ + c² + ab(a + b) + ac(a + c) + bc(b + c) = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc).

Таким образом, разложение будет:

(a + b + c)((a - b)² + (b - c)² + (c - a)²).

Надеюсь, эти объяснения помогут вам лучше понять, как разложить на множители и доказать равенства!