Как можно решить неравенство с логарифмом: log(1/3)(x^2 + 2x) > -1?

Математика 8 класс Неравенства с логарифмами решение неравенства логарифмическое неравенство математика 8 класс неравенства с логарифмами логарифм и неравенства Новый

Чтобы решить неравенство log(1/3)(x^2 + 2x) > -1, давайте следовать нескольким шагам:

1. Перепишем неравенство в более удобной форме. Мы знаем, что логарифм с основанием меньше 1 (в данном случае 1/3) меняет знак неравенства. Поэтому мы можем переписать его так:
• log(1/3)(x^2 + 2x) > -1 эквивалентно x^2 + 2x < 1/3^(-1).
2. Вычислим 1/3^(-1). Это равняется 3, так как возведение в отрицательную степень означает, что мы берём обратное число:
• 1/3^(-1) = 3.
3. Теперь у нас есть неравенство: x^2 + 2x < 3.
4. Переносим 3 в левую часть неравенства:
• x^2 + 2x - 3 < 0.
5. Теперь решим квадратное неравенство. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения:
• x^2 + 2x - 3 = 0.
6. Используем формулу корней квадратного уравнения: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 2, c = -3:
• Дискриминант D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4*1*(-3) = 4 + 12 = 16.
• Корни: x1 = (-2 + √16) / 2*1 = (-2 + 4) / 2 = 1,
• x2 = (-2 - √16) / 2*1 = (-2 - 4) / 2 = -3.
7. Теперь мы знаем корни уравнения: x1 = 1 и x2 = -3.
8. Найдём интервалы: у нас есть три интервала: (-∞, -3), (-3, 1) и (1, +∞).
9. Проверим знак выражения x^2 + 2x - 3 на каждом из интервалов:
• Для интервала (-∞, -3): выберем, например, x = -4. Подставляем: (-4)^2 + 2*(-4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 (положительно).
• Для интервала (-3, 1): выберем, например, x = 0. Подставляем: 0^2 + 2*0 - 3 = -3 (отрицательно).
• Для интервала (1, +∞): выберем, например, x = 2. Подставляем: 2^2 + 2*2 - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 (положительно).
10. Таким образом, мы видим, что неравенство x^2 + 2x - 3 < 0 выполняется на интервале: (-3, 1).
11. Итак, окончательный ответ: x ∈ (-3, 1).

Это означает, что все значения x в этом интервале удовлетворяют исходному неравенству с логарифмом.