Как можно решить следующие задачи по математике?

1. Решите систему уравнений:
   • x - y = 4
   • X^2 - 2y = 11
2. Вычислите координаты точек пересечения графиков уравнений:
   • x^2 + y^2 = 5
   • x - y = 1
3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15 см, а один из катетов на 3 см меньше другого. Найдите катеты треугольника (составить уравнение).
4. Решите систему уравнений:
   • x - y = -2
   • 1/x - 1/y = 1/12
5. Решите систему уравнений:
   • y = |x|
   • y = 2x^2 - 6

Математика 8 класс Системы уравнений и графики функций математика 8 класс решение задач система уравнений графики уравнений гипотенуза треугольника катеты треугольника координаты точек пересечения Новый

Давайте решим каждую из задач по порядку.

1. Система уравнений:

x - y = 4

x^2 - 2y = 11

1. Из первого уравнения выразим y: y = x - 4.
2. Теперь подставим это значение y во второе уравнение:
• x^2 - 2(x - 4) = 11.
• Раскроем скобки:
• x^2 - 2x + 8 = 11.
• Переносим все в одну сторону:
• x^2 - 2x + 8 - 11 = 0, т.е. x^2 - 2x - 3 = 0.
3. Теперь решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
• D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4*1*(-3) = 4 + 12 = 16.
• Корни уравнения:
• x1 = (2 + √16)/2 = 5, x2 = (2 - √16)/2 = -1.
4. Теперь подставим найденные значения x обратно в y = x - 4:
• Для x1 = 5: y1 = 5 - 4 = 1.
• Для x2 = -1: y2 = -1 - 4 = -5.
5. Таким образом, решения системы: (5, 1) и (-1, -5).

2. Координаты точек пересечения графиков:

x^2 + y^2 = 5

x - y = 1

1. Из второго уравнения выразим y: y = x - 1.
2. Подставим это значение y в первое уравнение:
• x^2 + (x - 1)^2 = 5.
• Раскроем скобки:
• x^2 + (x^2 - 2x + 1) = 5.
• Соберем все в одну сторону:
• 2x^2 - 2x + 1 - 5 = 0, т.е. 2x^2 - 2x - 4 = 0.
• Упростим уравнение: x^2 - x - 2 = 0.
3. Решим квадратное уравнение:
• D = (-1)^2 - 4*1*(-2) = 1 + 8 = 9.
• Корни уравнения:
• x1 = (1 + √9)/2 = 3, x2 = (1 - √9)/2 = -2.
4. Теперь найдем соответствующие значения y:
• Для x1 = 3: y1 = 3 - 1 = 2.
• Для x2 = -2: y2 = -2 - 1 = -3.
5. Таким образом, точки пересечения: (3, 2) и (-2, -3).

3. Гипотенуза прямоугольного треугольника:

Гипотенуза = 15 см, один катет на 3 см меньше другого.

1. Обозначим один катет за x, тогда другой катет будет x - 3.
2. По теореме Пифагора: x^2 + (x - 3)^2 = 15^2.
3. Раскроем скобки:
• x^2 + (x^2 - 6x + 9) = 225.
• 2x^2 - 6x + 9 - 225 = 0, т.е. 2x^2 - 6x - 216 = 0.
• Упростим уравнение: x^2 - 3x - 108 = 0.
4. Решим квадратное уравнение:
• D = (-3)^2 - 4*1*(-108) = 9 + 432 = 441.
• Корни уравнения:
• x1 = (3 + √441)/2 = 12, x2 = (3 - √441)/2 = -9 (отрицательное значение не подходит).
5. Таким образом, катеты: 12 см и 9 см.

4. Система уравнений:

x - y = -2

1/x - 1/y = 1/12

1. Из первого уравнения выразим y: y = x + 2.
2. Подставим это значение y во второе уравнение:
• 1/x - 1/(x + 2) = 1/12.
• Приведем к общему знаменателю:
• (x + 2 - x) / (x(x + 2)) = 1/12.
• 2 / (x(x + 2)) = 1/12.
• Умножим обе стороны на 12x(x + 2): 24 = x(x + 2).
• Раскроем скобки: x^2 + 2x - 24 = 0.
3. Решим квадратное уравнение:
• D = 2^2 - 4*1*(-24) = 4 + 96 = 100.
• Корни уравнения:
• x1 = (-2 + √100)/2 = 8, x2 = (-2 - √100)/2 = -10 (отрицательное значение не подходит).
4. Теперь найдем соответствующее значение y: y1 = 8 + 2 = 10.
5. Таким образом, решение системы: (8, 10).

5. Система уравнений:

y = |x|

y = 2x^2 - 6

1. Подставим y из первого уравнения во второе:
• |x| = 2x^2 - 6.
2. Рассмотрим два случая: x ≥ 0 и x < 0.
3. Случай 1: x ≥ 0, тогда |x| = x:
• x = 2x^2 - 6.
• 2x^2 - x - 6 = 0.
4. Решим квадратное уравнение:
• D = (-1)^2 - 4*2*(-6) = 1 + 48 = 49.
• Корни уравнения:
• x1 = (1 + √49)/4 = 2, x2 = (1 - √49)/4 = -1.25 (отрицательное значение не подходит).
5. Для x = 2, y = |2| = 2.
6. Случай 2: x < 0, тогда |x| = -x:
• -x = 2x^2 - 6.
• 2x^2 + x - 6 = 0.
7. Решим квадратное уравнение:
• D = (1)^2 - 4*2*(-6) = 1 + 48 = 49.
• Корни уравнения:
• x1 = (-1 + √49)/4 = 2, x2 = (-1 - √49)/4 = -3 (принимаем только x = -3).
8. Для x = -3, y = |-3| = 3.
9. Таким образом, решения: (2, 2) и (-3, 3).

Теперь мы рассмотрели все задачи. Если есть вопросы, не стесняйтесь задавать!