Как найти длину биссектрисы прямоугольного треугольника АВС, если известны размеры гипотенузы и большего катета, равные 30 см и 24 см соответственно, и биссектрису проведена к меньшему катету?

Математика 8 класс Биссектрисы треугольника длина биссектрисы прямоугольный треугольник размеры гипотенузы больший катет меньший катет задачи по математике формулы биссектрисы Новый

Чтобы найти длину биссектрисы прямоугольного треугольника, нам нужно воспользоваться формулой для длины биссектрисы. В нашем случае у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где AB - гипотенуза, AC - больший катет, а BC - меньший катет.

Дано:

• Гипотенуза AB = 30 см
• Большой катет AC = 24 см

Сначала найдем длину меньшего катета BC. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника справедливо следующее:

AB² = AC² + BC²

Подставим известные значения:

1. 30² = 24² + BC²
2. 900 = 576 + BC²
3. BC² = 900 - 576
4. BC² = 324
5. BC = √324
6. BC = 18 см

Теперь у нас есть все стороны треугольника:

• Гипотенуза AB = 30 см
• Большой катет AC = 24 см
• Меньший катет BC = 18 см

Теперь мы можем найти длину биссектрисы, проведенной к меньшему катету (BC). Формула для длины биссектрисы, проведенной к стороне a, имеет вид:

l = (2 * b * c) / (b + c) * cos(A/2)

где:

• l - длина биссектрисы
• a - сторона, к которой проведена биссектрисa (в нашем случае BC)
• b и c - стороны, образующие угол A (в нашем случае AC и AB)
• A - угол между сторонами b и c

В нашем случае:

• a = BC = 18 см
• b = AC = 24 см
• c = AB = 30 см

Теперь нам нужно найти угол A. В прямоугольном треугольнике угол A можно найти с помощью тригонометрических функций. Мы можем использовать синус:

sin(A) = противолежащий катет / гипотенуза = BC / AB = 18 / 30

Теперь найдем cos(A/2) с помощью формулы:

cos(A/2) = √((1 + cos(A)) / 2)

Для нахождения cos(A) можно использовать теорему косинусов:

cos(A) = (b² + c² - a²) / (2bc)

Подставим известные значения:

1. cos(A) = (24² + 30² - 18²) / (2 * 24 * 30)
2. cos(A) = (576 + 900 - 324) / (1440)
3. cos(A) = 1152 / 1440
4. cos(A) = 0,8

Теперь подставим значение cos(A) в формулу для cos(A/2):

1. cos(A/2) = √((1 + 0,8) / 2)
2. cos(A/2) = √(1,8 / 2)
3. cos(A/2) = √(0,9)
4. cos(A/2) = 0,9487

Теперь подставим все найденные значения в формулу для длины биссектрисы:

1. l = (2 * 24 * 30) / (24 + 30) * 0,9487
2. l = (1440) / (54) * 0,9487
3. l = 26,6667 * 0,9487
4. l ≈ 25,3 см

Таким образом, длина биссектрисы, проведенной к меньшему катету, составляет примерно 25,3 см.