Чтобы определить объем правильной четырехугольной призмы, нам нужно знать площадь основания и высоту призмы. В данном случае высота призмы известна и равна 5 дм. Теперь давайте разберемся, как найти площадь основания.

Правильная четырехугольная призма имеет квадратное основание. Площадь полной поверхности призмы состоит из площади двух оснований и площади боковой поверхности. Полная поверхность призмы рассчитывается по формуле:

Так как основание является квадратом, обозначим сторону квадрата как "a". Тогда площадь основания будет равна:

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы рассчитывается как произведение периметра основания на высоту:

Периметр квадрата равен:

Таким образом, площадь боковой поверхности будет равна:

Теперь подставим все в формулу площади полной поверхности:

Упростим уравнение:

Теперь перенесем все в одну сторону:

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Сначала упростим его, разделив все коэффициенты на 2:

Теперь применим формулу решения квадратного уравнения:

Где a = 1, b = 10, c = -39. Подставим значения:

Теперь найдём корень из дискриминанта:

Теперь подставим это значение в формулу:

Решения будут:

Итак, сторона квадрата равна 3 дм. Теперь мы можем найти площадь основания:

Теперь можем найти объем призмы по формуле:

Подставим значения:

Таким образом, объем правильной четырехугольной призмы равен 45 дм³.