Как разложить на множители выражение x^4 + x^2 + 1?

Математика 8 класс Разложение многочленов на множители разложение на множители выражение x^4 + x^2 + 1 математика 8 класс Новый

Чтобы разложить на множители выражение x^4 + x^2 + 1, мы можем воспользоваться заменой переменной. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Замена переменной: Обозначим y = x^2. Тогда выражение x^4 + x^2 + 1 можно переписать как y^2 + y + 1.
2. Решение квадратного трёхчлена: Теперь нам нужно разложить y^2 + y + 1. Чтобы это сделать, мы можем использовать дискриминант:
   • Формула дискриминанта: D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = 1, c = 1.
   • Подставим значения: D = 1^2 - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3.
3. Анализ дискриминанта: Поскольку дискриминант D отрицательный, это означает, что у нас нет действительных корней, и выражение y^2 + y + 1 нельзя разложить на множители с действительными коэффициентами.
4. Разложение с комплексными корнями: Однако, мы можем выразить корни через комплексные числа. Используя формулу корней квадратного уравнения, получаем:
   • y = (-b ± √D) / (2a) = (-1 ± √(-3)) / 2.
   • Это дает нам корни: y1 = (-1 + i√3) / 2 и y2 = (-1 - i√3) / 2.
5. Возвращаемся к переменной x: Теперь, подставив обратно x^2 вместо y, мы получаем:
   • x^2 = (-1 + i√3) / 2 и x^2 = (-1 - i√3) / 2.
6. Запись окончательного ответа: Таким образом, полное разложение на множители в комплексных числах будет выглядеть как: (x^2 - (-1 + i√3) / 2)(x^2 - (-1 - i√3) / 2).

Таким образом, выражение x^4 + x^2 + 1 не имеет действительных множителей, но может быть разложено на множители с комплексными корнями.